【数学】2020届一轮复习北师大版存在、恒成立与最值问题（文）学案 6页

‎[2019·广州一模]已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，记的最小值为，求证．‎ ‎【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，，的定义域是，‎ ‎，‎ 当时，；当时，．‎ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2）证明：由（1）得的定义域是，，‎ 令，则，在上单调递增，‎ 因为，所以，，‎ 故存在，使得．‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增；‎ 故时，取得最小值，即，‎ 由，得，‎ 令，，则，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 故，即时，取最大值1，．‎ ‎1．[2019·青海联考]已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．‎ ‎2．[2019·咸阳模拟]设函数，．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）求证：当时，．‎ ‎3．[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为．‎ ‎（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎1．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，，所以函数在上单调递增；‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，故函数在上单调递减；‎ 当时，，故函数在上单调递增．‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．‎ ‎，‎ 整理得，即．‎ 令，易知在上单调递增，且；‎ 所以的解集为，所以．‎ ‎2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，，，令，则．‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎∴当时，，即，‎ 当时，要证，只需证，‎ 令，‎ ‎，‎ 由，可得，‎ 则时，恒成立，即在上单调递增，∴．‎ 即，∴．‎ ‎3．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 由切线斜率，解得．‎ ‎，其定义域为，，‎ 令，解得，故在区间上单调递增；‎ 令，解得，且，故在区间和区间上单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，定义域为．‎ 从而等价于，‎ 设，则，．‎ 当时，；当时，．‎ 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 从而在的最小值为．‎ 设，则，‎ 当时，；当时，，‎ 故在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 从而在的最大值为，‎ 综上所述，在区间上恒有成立，即．‎