全国高考文科数学试题及答案北京卷 10页

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．设集合 21{ | 2}, { 1}2A x x B x x      ，则 A B  （ ） A．{ 1 2}x x   B． 1{ | 1}2x x   C．{ | 2}x x  D．{ |1 2}x x  【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. ∵ 1{ | 2},2A x x     2{ 1} | 1 1B x x x x      ， ∴ { 1 2}A B x x    ，故选 A. 2．已知向量 (1,0), (0,1), ( ),a b c ka b k R d a b       ，如果 //c d ，那么 A． 1k  且 c 与 d 同向 B． 1k  且 c 与 d 反向 C． 1k   且 c 与 d 同向 D． 1k   且 c 与 d 反向 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a  1,0 ，b  0,1 ，若 1k  ，则 c a  b  1,1 ，d a b  1, 1  ， 显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 若 1k   ，则 c  a  b  1,1  ，d  a  b  1,1   ， 即 c // d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D 3．若 4(1 2) 2( ,a b a b   为有理数），则 a b  （ ） A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵           4 0 1 2 3 40 1 2 3 4 4 4 4 4 41 2 2 2 2 2 2C C C C C      1 4 2 12 8 2 4 17 12 2       ， 由已知，得17 12 2 2a b   ，∴ 17 12 29a b    .故选 B. .k.s.5.u.c 4．为了得到函数 3lg 10 xy  的图像，只需把函数 lgy x 的图像上所有的点（ ） A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A．    lg 3 1 lg10 3y x x     ， B．    lg 3 1 lg10 3y x x     ， C．   3lg 3 1 lg 10 xy x     ， D．   3lg 3 1 lg 10 xy x     . 故应选 C. 5．用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2 和 4 排在末位时，共有 1 2 2A  种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3 4 4 3 2 24A     种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 2 24 48  （个）.故选 C. 6．“ 6   ”是“ 1cos2 2   ”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查. 当 6   时， 1cos2 cos 3 2    ， 反之，当 1cos2 2   时，有  2 2 3 6k k k Z          ， 或  2 2 3 6k k k Z          ，故应选 A. 7．若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面边长为 1， 1AB 与底面 ABCD 成 60°角，则 1 1AC 到 底面 ABCD 的距离为 ( ) A． 3 3 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】D .w【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， 1 60B AB   ，如图， 1 1 tan60 3BB    ，故选 D. 8 ． 设 D 是 正 1 2 3PP P 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 ， 点 0P 是 1 2 3PP P 的 中 心 ， 若 集 合 0{ | ,| | | |, 1,2,3}iS P P D PP PP i    ，则集合 S 表示的平面区域是 ( ) A． 三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 大光明 如图，A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，答案 是集合 S 为六边形 ABCDEF，其中，  0 2 1,3iP A P A PA i   即点 P 可以是点 A. 第Ⅱ卷（110 分） 注意事项： 1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填写在题中横线上。 9．若 4sin ,tan 05     ，则 cos  . 【答案】 3 5  【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知， 在第三象限，∴ 2 2 4 3cos 1 sin 1 5 5               ，∴应填 3 5  . 10．若数列{ }na 满足： 1 11, 2 ( )n na a a n N     ，则 5a  ；前 8 项的和 8S  .（用数字作答） 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考 查. 1 2 1 3 2 4 3 5 41, 2 2, 2 4, 2 8, 2 16a a a a a a a a a        ， 易知 8 8 2 1 2552 1S   ，∴应填 255. 11．若实数 ,x y 满足 2 0, 4, 5, x y x x        则 s x y  的最大值为 . 【答案】9 【解析】.s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基 础知识、基本运算的考查. 如图，当 4, 5x y  时， 4 5 9s x y     为最大值. 故应填 9. 12．已知函数 3 , 1,( ) , 1, x xf x x x     若 ( ) 2f x  ，则 x  . .w.w.k.s.5【答案】 3log 2 .w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由 3 1 log 2 3 2x x x     ， 1 2 2 x x x       无解，故应填 3log 2 . 13．椭圆 2 2 19 2 x y  的焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，若 1| | 4PF  ，则 2| |PF  ； 1 2F PF 的大小为 . 【答案】 2, 120 .w【解析】u.c 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵ 2 29, 3a b  ， ∴ 2 2 9 2 7c a b     ， ∴ 1 2 2 7F F  ， 又 1 1 24, 2 6PF PF PF a    ，∴ 2 2PF  ， 又由余弦定理，得  22 2 1 2 2 4 2 7 1cos 2 2 4 2F PF        ， ∴ 1 2 120F PF   ，故应填 2, 120 . 14．设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k A ，如果 1k A  且 1k A  ，那么称 k 是 A 的一个“孤立元”，给定 {1,2,3,4,5,6,7,8,}S  ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指 在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是：           1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共 6 个. 故应填 6. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 12 分） 已知函数 ( ) 2sin( )cosf x x x  . （Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）求 ( )f x 在区间 ,6 2      上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵    2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x    ， ∴函数 ( )f x 的最小正周期为 . （Ⅱ）由 26 2 3x x          ，∴ 3 sin 2 12 x   ， ∴ ( )f x 在区间 ,6 2      上的最大值为 1，最小值为 3 2  . 16．（本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD ABCD 底面 ，点 E 在棱 PB 上. （Ⅰ）求证：平面 AEC PDB 平面 ； （Ⅱ）当 2PD AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能 力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD， ∵ PD ABCD 底面 ， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面 PDB， ∴平面 AEC PDB 平面 . （Ⅱ）设 AC∩BD=O，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， ∴O，E 分别为 DB、PB 的中点， ∴OE//PD， 1 2OE PD ， 又∵ PD ABCD 底面 ， ∴OE⊥底面 ABCD，OE⊥AO， 在 Rt△AOE 中， 1 2 2 2OE PD AB AO   ， ∴ 45AEO   ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ， 设 , ,AB a PD h  则          ,0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,0 , 0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵      , ,0 , 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a a      ， ∴ 0, 0AC DP AC DB       ， ∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面 PDB， ∴平面 AEC PDB 平面 . （Ⅱ）当 2PD AB 且 E 为 PB 的中点时，   1 1 20,0, 2 , , ,2 2 2P a E a a a       ， 设 AC BD O  ，则 1 1( , ,0)2 2O a a ，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， ∵ 1 1 2 2, , , 0,0,2 2 2 2EA a a a EO a                    ， ∴ 2cos 2 EA EOAEO EA EO         ， ∴ 45AEO   ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 17．（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运 用概率知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为   1 1 1 41 13 3 3 27P A                . （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件  0,1,2kB k  . 则由题意，得   4 0 2 16 3 81P B      ，     1 3 2 2 1 2 1 4 2 4 1 2 32 1 2 24,3 3 81 3 3 81P B C P B C                         . 由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件 B 的概率为        0 1 2 8 9P B P B P B P B    . 18．（本小题共 14 分） 设函数 3( ) 3 ( 0)f x x ax b a    . （Ⅰ）若曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处与直线 8y  相切，求 ,a b 的值； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）  ' 23 3f x x a  , ∵曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处与直线 8y  相切， ∴      ' 2 0 3 4 0 4, 24.8 6 82 8 f a a ba bf                （Ⅱ）∵     ' 23 0f x x a a   , 当 0a  时，  ' 0f x  ，函数 ( )f x 在 ,  上单调递增，此时函数 ( )f x 没 有极值点. 当 0a  时，由  ' 0f x x a    ， 当  ,x a   时，  ' 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增， 当  ,x a a  时，  ' 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减， 当  ,x a  时，  ' 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增， ∴此时 x a  是 ( )f x 的极大值点， x a 是 ( )f x 的极小值点. 19．（本小题共 14 分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的离心率为 3 ，右准线方程为 3 3x  。 （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）已知直线 0x y m   与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 2 2 5x y  上，求 m 的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得 2 3 3 3 a c c a     ，解得 1, 3a c  ， ∴ 2 2 2 2b c a   ，∴所求双曲线C 的方程为 2 2 12 yx   . （Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为    1 1 2 2, , ,x y x y ，线段 AB 的中点为  0 0,M x y ， 由 2 2 0 12 x y m yx      得 2 22 2 0x mx m    （判别式 0  ）, ∴ 1 2 0 0 0, 22 x xx m y x m m     , ∵点  0 0,M x y 在圆 2 2 5x y  上， ∴  22 2 5m m  ，∴ 1m   . 20．（本小题共 13 分） 设数列{ }na 的通项公式为 ( , 0)na pn q n N P    . 数列{ }nb 定义如下：对于正整 数 m ， mb 是使得不等式 na m 成立的所有 n 中的最小值. （Ⅰ）若 1 1,2 3p q   ，求 3b ； （Ⅱ）若 2, 1p q   ，求数列{ }mb 的前 2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在 p 和 q，使得 3 2( )mb m m N    ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围； 如果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类 讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. （Ⅰ）由题意，得 1 1 2 3na n  ， 解 1 1 32 3n   ，得 20 3n  . ∴ 1 1 32 3n   成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即 3 7b  . （Ⅱ）由题意，得 2 1na n  ， 对于正整数 m，由 na m ，得 1 2 mn  . 根据 mb 的定义可知 当 2 1m k  时，  * mb k k N  ； 当 2m k 时，  *1mb k k N   . ∴    1 2 2 1 3 2 1 2 4 2m m mb b b b b b b b b                1 2 3 2 3 4 1m m                  21 3 22 2 m m m m m m      . （Ⅲ）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pn q m  及 0p  得 m qn p  . ∵ 3 2( )mb m m N    ,根据 mb 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 3 1 3 2m qm mp     ， 即  2 3 1p q p m p q       对任意的正整数 m 都成立. 当3 1 0p   （或3 1 0p   ）时，得 3 1 p qm p    （或 2 3 1 p qm p    ），这与上 述结论矛盾！ 当3 1 0p   ，即 1 3p  时，得 2 103 3q q      ， 解得 2 1 3 3q    .（经检验符合题意） ∴ 存在 p 和 q，使得 3 2( )mb m m N    ；p 和 q 的取值范围分别是 1 3p  ， 2 1 3 3q    .