2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 6页

‎6.1.5　向量的线性运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律．‎ ‎2．理解向量线性运算的定义与运算法则．‎ ‎3．能利用向量线性运算解决简单问题．‎ ‎　通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 向量的加法与数乘向量的混合运算 规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．‎ 运算律：设对于实数λ，μ以及向量a，b，有(1)λa＋μa＝__(λ＋μ)a__.(2)λ(a＋b)＝__λa＋λb__．‎ 思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？‎ ‎(2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？‎ 提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．‎ ‎(2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．‎ 知识点 向量的线性运算 向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 向量的线性运算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)化简6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；‎ - 6 -‎ ‎(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x、y用a、b表示出来．‎ ‎[分析]　求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．‎ ‎[解析]　(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝(6－4＋10＋1)a＋(1－15＋7)b＝13a－7B．‎ ‎(2)由已知得 ‎①×3＋②×2得x＝3a＋2b，‎ ‎①×4＋②×3，得y＝4a＋3B．‎ ‎∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．‎ 规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a＝λ(μa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λB．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．化简下列各式：‎ ‎(1)4(a＋b)－3(a－b)；‎ ‎(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；‎ ‎(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．‎ ‎[解析]　(1)4(a＋b)－3(a－b)‎ ‎＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7B．‎ ‎(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)‎ ‎＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c ‎＝a－7b＋6C．‎ ‎(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)‎ ‎＝a－b－a－b＋a＋b ‎＝(－＋)a＋(－－＋)b ‎＝0·a＋0·b＝0＋0＝0．‎ 题型 用已知向量表示相关向量 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____．‎ - 6 -‎ ‎(2)如图所示，已知□ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，．‎ ‎ [解析]　(1)由已知＝－＝－ ‎＝(－)＋＝－＋，‎ 所以λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．‎ ‎(2)设＝x，则＝x，＝＋＝e1－x，＝e1－x，又＝x，由＋＝，得 x＋e1－x＝e2，‎ 解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1，‎ 由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2．‎ 规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧 ‎(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律．‎ ‎(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和．‎ ‎[解析]　方法一：连接CN，则AN綊DC，‎ - 6 -‎ 所以四边形ANCD是平行四边形．‎ ＝－＝－b，‎ 又因为＋＋＝0，‎ 所以＝－－＝b－a，‎ 所以＝－＝＋＝－b＋a＝a－B．‎ 方法二：因为＋＋＋＝0，‎ 即：a＋＋(－a)＋(－b)＝0，所以＝b－a，‎ 又因为在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，即：b＋a＋＋(－a)＝0，所以＝a－B．‎ 题型 向量平行、三点共线问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝B．‎ ‎ (1)用a，b分别表示向量，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ ‎[解析]　(1)∵＝(＋)＝(a＋b)，‎ ‎∴＝＝(a＋b)，‎ ‎∵＝＝b，‎ ‎∴＝－＝－a＋B．‎ - 6 -‎ ‎(2)由(1)知＝－a＋b，‎ ＝－a＋b＝(－a＋b)，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴与共线．‎ 又BE，BF有公共点B，‎ ‎∴B，E，F三点共线．‎ 规律方法：1.证向量平行，用b＝λA．‎ ‎2．证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)已知非零向量e1，e2不共线．‎ 如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，‎ 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证：a∥B．‎ ‎[解析]　(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，‎ ‎∴，共线，又，有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，‎ 所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，‎ b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2，‎ 当λ≠时，a＝b，所以a，b共线；‎ 当λ＝时，b＝0，a，b也共线．‎ 综上，a与b共线，即a∥B．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　设a，b是两个不共线的向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__－4__．‎ ‎[错解]　±4‎ - 6 -‎ ‎[辨析]　本题容易出现得到k＝±4的错误，出错的原因是忽视了条件方向相反对k取值的限制．因此由两个向量共线求参数时要注意两向量的方向．‎ ‎[正解]　因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．‎ - 6 -‎