2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 4页

‎6.1.4　数乘向量 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解数乘向量的定义及几何意义．‎ ‎2．了解数乘向量的运算律．‎ ‎3．会判定向量平行、三点共线．‎ ‎1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养．‎ ‎2．通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 向量的数乘运算 定义：实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算简称数乘向量，记作λA．‎ 规定：(1)当λ≠0 且a≠0时，|λa|＝|λ||a|，且 ‎①当λ＞0时，λa的方向与a的方向__相同__；‎ ‎②当λ＜0时，λa的方向与a的方向__相反__．‎ ‎(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__．‎ 思考：(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？‎ ‎(2)若把 |λa|＝|λ||a|写成|λa|＝λ|a|可以吗？为什么？‎ 提示：(1)数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向．‎ ‎(2)不可以，当λ＜0时不成立．‎ 知识点 向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则λ(μa)＝__(λμ)__a；‎ 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)．‎ 思考：这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？‎ 提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．‎ 知识点 向量共线的条件 如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．‎ 思考：“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b＝λA．”成立吗？‎ - 4 -‎ 提示：不成立，若a＝0，b≠0，则λ不存在．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 数乘向量的定义 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有__②③__．‎ ‎①|－λa|≥|a|；‎ ‎②a与λ2a方向相同；‎ ‎③|－2λa|＝2|λ|·|a|．‎ ‎[分析]　根据数乘向量的概念解决．‎ ‎[解析]　当0＜λ＜1 时，|－λa|＜|a|，①错误；②③正确．‎ 规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为__x＞__．‎ ‎[解析]　由向量数乘定义可知，2x－1＞0，即x＞．‎ 题型 数乘向量的运算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　下列各式化简正确的是__②③__．‎ ‎①－3×2a＝－5a；‎ ‎②a×3×(－2)＝－3a；‎ ‎③－2×＝2；‎ ‎④0×b＝0．‎ ‎[分析]　根据向量数乘的运算律解决．‎ ‎[解析]　因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以，①④错误，②③正确．‎ - 4 -‎ 规律方法：λa中的实数λ称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．化简下列各式．‎ ‎(1)4×(－)a；‎ ‎(2)－2××(－3a)．‎ ‎[解析]　(1)4×(－)a＝－A．‎ ‎(2)－2××(－3a)＝3A．‎ 题型 数乘向量的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ 角度1　判断向量共线 ‎　典例3　已知a＝2e, b＝－4e, 判断a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向．‎ ‎[分析]　利用数乘向量的定义解决．‎ ‎[解析]　因为b＝－4e＝－2(2e )＝－2a ，所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.向量a，b反向．‎ 母题探究：把本例条件改为“a＝2e，b＝3e，”其他条件不变，试判断a与b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说明它们是同向还是反向．‎ ‎[解析]　因为b＝3e＝(2e)＝a ，所以a∥b，‎ 且|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝2∶3.向量a，b同向．‎ 角度2　判断三点共线 ‎　典例4　已知＝e，＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．‎ ‎[分析]　利用数乘向量的定义解决．‎ ‎[解析]　因为＝－3e＝－3，所以∥，‎ 且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量，反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点．‎ - 4 -‎ 规律方法：数乘向量的应用 ‎(1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．‎ ‎(2)如果存在实数λ，使得＝λ，则∥，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比．‎ ‎(1)＝3；‎ ‎(2)＝－．‎ ‎[解析]　(1)因为＝3，所以∥，又有公共的点C，所以A，B，C三点共线，且AB＝2BC，即AB∶BC＝2∶1．‎ ‎(2)因为＝－，所以∥，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB＝BC，即AB∶BC＝3∶4．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　若点C在线段AB上，且＝，则＝__　__，＝__－__．‎ ‎[错解]　　　设AC＝3k，则CB＝2k，所以AB＝5k，故＝，＝．‎ ‎[辨析]　解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性．‎ ‎[正解]　因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，‎ 且＝，＝，所以＝，＝－．‎ - 4 -‎