2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(四) 7页

(四)解析几何 1．(2018·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A，B， 右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OP⊥AF. (1)若点 P 的坐标为( 3，1)，求椭圆 C 的方程； (2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，已知椭圆的离心率为 2 2 ，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率 的 m 倍，求实数 m 的值． 解 (1)因为点 P( 3，1)， 所以 kOP＝ 1 3 ， 又因为 AF⊥OP，－b c × 1 3 ＝－1， 所以 3c＝b，所以 3a2＝4b2， 又点 P( 3，1)在椭圆 C 上， 所以 3 a2 ＋ 1 b2 ＝1， 解得 a2＝13 3 ，b2＝13 4 . 故椭圆方程为x2 13 3 ＋y2 13 4 ＝1. (2)因为 e＝c a ＝ 2 2 ， 即a2－b2 a2 ＝1 2 ， 所以b2 a2 ＝1 2. 又因为 kAQkBQ＝yQ－b xQ ·yQ＋b xQ ＝y2Q－b2 x2Q ＝－b2 a2 ， 所以 m＝kOP kBQ ＝－ 1 kAQkBQ ＝a2 b2 ＝2. 2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，直线 l：y＝－ 1 2x 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，AB＝2 10，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的两点，且直线 AC， BD 相交于点 P，直线 AD，BC 相交于点 Q. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)求证：直线 PQ 的斜率为定值． (1)解 因为 e＝c a ＝ 3 2 ， 所以 c2＝3 4a2，即 a2－b2＝3 4a2， 所以 a＝2b. 所以椭圆方程为 x2 4b2 ＋y2 b2 ＝1. 由题意不妨设点 A 在第二象限，点 B 在第四象限， 由 y＝－1 2x， x2 4b2 ＋y2 b2 ＝1， 得 A － 2b， 2 2 b . 又 AB＝2 10，所以 OA＝ 10， 则 2b2＋1 2b2＝5 2b2＝10， 得 b＝2，a＝4. 所以椭圆 E 的标准方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1. (2)证明 由(1)知，椭圆 E 的方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1， A(－2 2， 2)，B(2 2，－ 2)． ①当直线 CA，CB，DA，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1， k2，C(x0，y0)，显然 k1≠k2. 从而 k1·kCB＝ y0－ 2 x0＋2 2 · y0＋ 2 x0－2 2 ＝y20－2 x20－8 ＝4 1－x20 16 －2 x20－8 ＝ 2－x20 4 x20－8 ＝－1 4 ，所以 kCB＝－ 1 4k1 . 同理 kDB＝－ 1 4k2 . 所以直线 AD 的方程为 y－ 2＝k2(x＋2 2)，直线 BC 的方程为 y＋ 2＝－ 1 4k1 (x－2 2)， 由 y＋ 2＝－ 1 4k1 x－2 2， y－ 2＝k2x＋2 2， 解得 x＝2 2－4k1k2－4k1＋1 4k1k2＋1 ， y＝ 2－4k1k2＋4k2＋1 4k1k2＋1 ， 从而点 Q 的坐标为 2 2－4k1k2－4k1＋1 4k1k2＋1 ， 2－4k1k2＋4k2＋1 4k1k2＋1 . 用 k2 代替 k1，k1 代替 k2 得点 P 的坐标为 2 2－4k1k2－4k2＋1 4k1k2＋1 ， 2－4k1k2＋4k1＋1 4k1k2＋1 . 所以 kPQ＝ 2－4k1k2＋4k2＋1 4k1k2＋1 － 2－4k1k2＋4k1＋1 4k1k2＋1 2 2－4k1k2－4k1＋1 4k1k2＋1 －2 2－4k1k2－4k2＋1 4k1k2＋1 ＝4 2k2－k1 8 2k2－k1 ＝1 2. 即直线 PQ 的斜率为定值1 2. ②当直线 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜 率不存在，不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(－2 2，－ 2)． 设 DA 的斜率为 k，由①知，kDB＝－ 1 4k. 因为直线 CA：x＝－2 2，直线 DB：y＋ 2＝－ 1 4k(x－2 2)， 得 P －2 2，－ 2＋ 2 k . 又直线 BC：y＝－ 2，直线 AD：y－ 2＝k(x＋2 2)， 得 Q －2 2－2 2 k ，－ 2 ， 所以 kPQ＝1 2. 由①②可知，直线 PQ 的斜率为定值1 2. 3.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率是 3 2 ，右准线的方程为 x＝4 3 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P 1 2 ，2 ，过 x 轴上的一个定点 M 作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若三条直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列，求点 M 的坐标． 解 (1)因为椭圆的离心率为 3 2 ，右准线的方程为 x＝4 3 3 ， 所以 e＝c a ＝ 3 2 ，a2 c ＝4 3 3 ，则 a＝2，c＝ 3，b＝1， 椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)设 M(m,0)，当直线 l 为 y＝0 时，A(－2,0)，B(2,0)， PA，PM，PB 的斜率分别为 kPA＝4 5 ，kPM＝ 4 1－2m ，kPB＝－4 3 ， 因为直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列， 所以 8 1－2m ＝4 5 －4 3 ，m＝8. 证明如下： 当 M(8,0)时，直线 PA，PM，PB 的斜率构成等差数列， 设 AB：y＝k(x－8)，代入椭圆方程 x2＋4y2－4＝0， 得 x2＋4k2(x－8)2－4＝0， 即(1＋4k2)x2－64k2x＋256k2－4＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为 x1,2＝64k2± －64k22－41＋4k2256k2－4 21＋4k2 ， 所以 x1＋x2＝ 64k2 1＋4k2 ，x1x2＝256k2－4 1＋4k2 ， 又 kPM＝0－2 8－1 2 ＝－ 4 15 ， 所以 kPA＋kPB＝y1－2 x1－1 2 ＋y2－2 x2－1 2 ＝kx1－8k－2 x1－1 2 ＋kx2－8k－2 x2－1 2 ＝2k＋ －15 2 k－2 1 x1－1 2 ＋ 1 x2－1 2 ＝2k＋ －15 2 k－2 x1＋x2－1 x1x2－1 2 x1＋x2＋1 4 ＝2k＋ －15 2 k－2 64k2 1＋4k2 －1 256k2－4 1＋4k2 －1 2 × 64k2 1＋4k2 ＋1 4 ＝2k＋ －15 2 k－2 60k2－1 15 4 60k2－1 ＝－ 8 15 ＝2kPM，即证． 4．(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左顶点 A(－2,0)， 且点 －1，3 2 在椭圆上，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点．过点 A 作斜率为 k(k>0)的直线交 椭圆 E 于另一点 B，直线 BF2 交椭圆 E 于点 C. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若△CF1F2 为等腰三角形，求点 B 的坐标； (3)若 F1C⊥AB，求 k 的值． 解 (1)由题意得 a＝2， a2＝b2＋c2， 1 4 ＋ 9 4b2 ＝1， 解得 a＝2， b＝ 3， c＝1. ∴椭圆 E 的标准方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)∵△CF1F2 为等腰三角形，且 k>0， ∴点 C 在 x 轴下方， ①若 F1C＝F2C，则 C(0，－ 3)； ②若 F1F2＝CF2，则 CF2＝2，∴C(0，－ 3)； ③若 F1C＝F1F2，则 CF1＝2，∴C(0，－ 3)， ∴C(0，－ 3)． ∴直线 BC 的方程为 y＝ 3(x－1)， 由 y＝ 3x－1， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得 x＝0， y＝－ 3 或 x＝8 5 ， y＝3 3 5 ， ∴B 8 5 ，3 3 5 . (3)设直线 AB 的方程 lAB：y＝k(x＋2)， 由 y＝kx＋2， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0， ∴xAxB＝－2xB＝16k2－12 3＋4k2 ， ∴xB＝－8k2＋6 3＋4k2 ，∴yB＝k(xB＋2)＝ 12k 3＋4k2 ， ∴B －8k2＋6 3＋4k2 ， 12k 3＋4k2 ， 若 k＝1 2 ，则 B 1，3 2 ，∴C 1，－3 2 ， ∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－3 4 ， ∴F1C 与 AB 不垂直，∴k≠1 2. ∵F2(1,0)，kBF2＝ 4k 1－4k2 ，kCF1＝－1 k ， ∴直线 BF2 的方程 lBF2：y＝ 4k 1－4k2(x－1)， 直线 CF1 的方程 lCF1：y＝－1 k(x＋1)． 由 y＝ 4k 1－4k2 x－1， y＝－1 k x＋1， 解得 x＝8k2－1， y＝－8k， ∴C(8k2－1，－8k)． 又点 C 在椭圆上，得8k2－12 4 ＋－8k2 3 ＝1， 即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即 k2＝ 1 24 ， ∵k>0，∴k＝ 6 12.