高中数学必修1教案：第二章（第26课时）函数应用举例4 6页

课 题：2.9.4函数应用举例4‎ 教学目的： ‎ ‎1．根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决问题 ‎2．培养培养观察分析、抽象概括、归纳总结、逻辑推理、化归转化的能力；‎ ‎3．培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 ‎ 教学重点：数学建模的方法 教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： ‎ 一、复习引入：‎ 上一节课，我们主要学习了有关物理问题的数学模型，.这一节，我们学习有关生活消费问题的数学模型 二、新授内容：‎ 例1随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m，单价是0.3万元／m的一套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表． 表1(住房)‎ 期限 年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 月均还款（元）‎ ‎857.50‎ ‎440.10‎ ‎301.10‎ ‎231.70‎ ‎190.13‎ ‎163.75‎ ‎144.08‎ ‎129.38‎ ‎117.99‎ ‎108.92‎ 期限 年 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 月均还款（元）‎ ‎101.54‎ ‎95.43‎ ‎90.28‎ ‎85.90‎ ‎82.13‎ ‎78.86‎ ‎76‎ ‎73.47‎ ‎71.24‎ ‎69.24‎ 期限 年 ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 月均还款（元）‎ ‎67.45‎ ‎65.85‎ ‎64.40‎ ‎63.08‎ ‎61.89‎ ‎60.80‎ ‎59.80‎ ‎58.89‎ ‎58.05‎ ‎57.28‎ ‎ 表2（汽车）‎ 期限（年）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 月均还款（元）‎ ‎859.98‎ ‎442.94‎ ‎303.95‎ ‎234.99‎ ‎193.47‎ ‎⑴‎ 现该家庭有两种贷款方案：一是马上贷款购房，等积累一定资金后再贷款买车；二是马上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．‎ ‎⑵建立家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式．‎ 分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．‎ 解：⑴方案一：先购房后买车．‎ 为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．‎ 按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元．‎ 设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式 y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）*月数 ‎＝1+(0.5-0.15-2l*0.005728)x， ‎ 即 y＝1+0.229712x，（xN）‎ 选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为 u=15(l-1%)* 30％ ，即 u=4.5*0.99（xN）．‎ 刚买车后家庭的结余资金为y，则 ‎ y=买车前家庭积累资金-首付汽车款 ‎＝(1+0.229712x)-4.5*0.99，‎ 即 买车后家庭的结余资金为：‎ ‎ y=-4.5*0.99＋0.229712x+1（xN）．‎ 用计算机作出其图象，可知x=12.86时，y=0．‎ 说明购房13个月后该家庭有能力买车．‎ 但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．‎ 现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:‎ 因为按此方案，汽车贷款为 15(l-1%)70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以 ‎ v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支 ‎＝0.019347*15(l-1%)70%＋21*0.005728+0.15+0.1，‎ 即 买车后家庭月支出为：v=0.203144*0.99+0.370288 （xN）．‎ 因此，还清汽车贷款时的家庭结余为 ‎ y＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出]*五年 ‎＝ y+60[0.5-v]‎ ‎＝( -4.5*0.99＋0.229712x+1) ‎ ‎+60[0.5-(0.203144*0.99+0.370288)]，‎ ‎＝-16.68864*0.99＋0.229712x+8.78272‎ 即还清汽车贷款时的家庭结余为 ‎ y=-16.68864*0.99＋0.229712x+8.78272 （xN）．‎ 用计算机作出其图象，可知x=20.75时，y=0．‎ 综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．‎ 方案二：先买车后购房．‎ 为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄 10万元）还剩资金5.5万元．‎ 同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金 y＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）*月数 ‎＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5*0.019347)x ‎ y=5.5+0.0468565x（xN，），‎ 而此时购房需首付 y=30*(1+0.8%)30%=9*1.008‎ 在同一坐标系中分别作出y、y的图像，‎ 由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金 也可以令x=21，则y=5.5+0.0468565%21=6.483997（万元）．‎ y＝10.639315（万元）‎ ‎∵10.639315（万元）>6.483997万元．‎ ‎∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．‎ 因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．‎ 解⑵ 现建立实施方案一后的家庭积累资金y（万元）关于时间x月）的函数关系式．‎ ‎①因购车前y=1+0.229712x， （xN且1