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- 2021-02-27 发布
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高三重点班开学考试数学试题（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{x|2x－1>1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝( )
A.[1，2) B.[1，2] C.(0，3] D.(1，2]
2.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则＝( )
A.－1－2i B.－1＋2i C.1－2i D.1＋2i
3.已知向量a＝(2，－1)，A(－1，x)，B(1，－1)，若a⊥，则实数x的值为( )
A.－5 B.0 C.－1 D.5
4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
5. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
6. 已知复数满足，则复数对应的点所在象限是（ ）
A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为（ ）
A. B. C. 0 D.
8. 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数 的图像向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）
A． -1 B． C. D．-2
10.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（ ）
A． 14 B． 56 C. D．63
11.已知点是抛物线准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C. D．
12.若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）已知向量，，若∥，则 .
（14）设中，角所对的边分别为，若的面积为，则
（15）已知等比数列的公比为正数，且，,则 ．
（16）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18．（12分）
P
A
B
C
如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB=2．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积．
19．（本小题满分12分）
已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）．
⑴求证：平面；
⑵在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值
图2
图1
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥PB，求实数λ的值.
D
Q
B
P
x
A
O
y
第20题
21. 已知函数（其中）.(12分)
（1）若为的极值点，求的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式.
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. 已知圆锥曲线 (是参数)和定点,、是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.C 11、C 12.A
13. 14.30°或 16.23
17．（12分）
解析：（1）当时，，所以.
当时，.
于是，即.
所以数列是以为首项，公式的等比数列.
所以. .................................................4分
（2）因为，
所以，
于是，
两式相减，得，
于是. .................................................12分
P
A
B
C
O
18．（12分）
解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.
因为ABC是边长为2的正三角形，
所以BO⊥AC，BO=.
因为PA⊥PC，所以PO=.
因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.
因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC，
所以平面PAB⊥平面ABC．.................................................6分
（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，
所以.
由（1）知BO⊥平面PAC.
所以. .................................................12分
19．解析
∴四边形为平行四边形
∴∥
又∵面， 面
∴∥面
(2)作于，连接，在中，易知，而
∴，
在中， ，易知
又∵
∴
在中， ， ，
∴
∴
在中，易知
∴
在中，
∴，即与平面的所成的角的正弦值为.
20.解:(1)因为点在椭圆C上，则，------------------------------1分
又椭圆C的离心率为错误！未找到引用源。，可得，即，
所以 ，代入上式，可得，
解得，故.
所以椭圆C的方程为 5分
(2)设P(x0，y0)，则A(-x0，-y0)，Q(x0，-y0).
因为错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,则(0，yD-y0)=λ(0，-2y0)，故yD=(1-2λ)y0.
所以点D的坐标为(x0，(1-2λ)y0). 7分
设B(x1，y1)，
9分
又
故.------------- ------------11分
又PA⊥PB，且，
所以，即，解得.
所以 12分
21【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：先由极值定义求出，再利用导数研究函数单调性，进而解出不等式
试题解析：因为，
所以， 1分
因为为的极值点,所以由,解得
检验,当时,,当时,,当时,.
所以为的极值点,故． 2分
当时,
不等式 ,
整理得,
即或， 6分
令，,，
当时,；当时,，
所以在单调递减，在单调递增，所以，
即,所以在上单调递增,而；
故；，
所以原不等式的解集为． 12分
考点：函数极值，利用导数解不等式
22.【答案】(1)(为参数).(2).
【解析】试题分析：
(1)消去参数可得圆锥曲线的普通方程，则焦点坐标为，由斜率公式结合直线垂直的充要条件可得直线的倾斜角是.其参数方程是(为参数).
(2)设是直线上任一点，由题意有，整理可得其极坐标方程为.
试题解析：
(1)圆锥曲线化为普通方程，所以，则直线的斜率，于是经过点且垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是.所以直线的参数方程是(为参数)，
即(为参数).
(2)直线的斜率，倾斜角是，设是直线上任一点，
则，即，则.
23.【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.
(2)由绝对值三角不等式的性质可得，结合集合关系可得关于实数a的不等式求解绝对值不等式可得实数的取值范围为......................
试题解析：
(1)原不等式等价于或
或，解得或或.
∴原不等式的解集为.
(2)，
或，
∴实数的取值范围为.
