九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教学课件新版北师大版 14页

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 矩形的判定 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 ．理解并掌握矩形的判定方法．（重点） 2 ．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题 . ( 难点 ) 学习目标 问题 : 什么是矩形？矩形有哪些性质？ A B C D O 矩形：有一个角是直角的平行四边形 . 矩形性质： ① 是轴对称图形 ; ②四个角都是直角 ; ③ 对角线相等且平分 . 导入新课 矩形判定的定理及其证明 一 活动 1: 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 拉动一对不相邻的顶点时 , 注意观察 两条对角线的长度 . 问题 1: 我们会看到对角线会随着∠ α 变化而变化 , 当两条对角线长度相等时 , 平行四边形有什么特征？ α 讲授新课 已知：如图 , 在 □ ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证： □ ABCD 是矩形 . 证明：∵ AB = DC , BC = CB , AC = DB , ∴ △ ABC ≌ △ DCB , ∴∠ ABC = ∠ DCB . ∵ AB ∥ CD , ∴∠ ABC + ∠ DCB = 180° , ∴ ∠ ABC = 90° , ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义） . 猜想 : 当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形 . A B C D 对角线相等的平行四边形是矩形 . 定理 活动 2: 李芳同学通过画 “ 边－直角、边－直角、边－直角、边 ” 这样四步画出一个四边形 . ① ② ③ ④ 问题 2: 李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确 , 你能证明吗？ 已知：如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A =∠ B =∠ C = 90 ° . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . 猜想 : 当三个角都是直角 , 该四边形可能是矩形 . 证明 :∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A + ∠ B =180 ° , ∠ B +∠ C =180 ° . ∴ AD ∥ BC , AB ∥ CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 有三个角是直角的四边形是矩形 . 定理 例 1 ： 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. 定理的应用 二 典例精析 A B C D O ∴ □ABCD 是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ∴∠ ABC =90° （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 AB 2 + BC 2 = AC 2 , ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 例 2 ： 如图，在 △ ABC 中 , AB = AC , D 为 BC 上一点，以 AB , BD 为邻边作平行四边形 ABDE , 连接 AD , EC . （ 1 ）求证：△ ADC ≌ △ ECD ; （ 2 ）若 BD = CD , 求证：四边形 ADCE 是矩形 . 证明：（ 1 ）∵ △ ABC 是等腰三角形 , ∴ ∠ B = ∠ ACB . 又∵四边形 ABDE 是平行四边形 , ∴ ∠ B = ∠ EDC , AB = DE , ∴ ∠ ACB= ∠ EDC , ∴ △ ADC ≌ △ ECD . A D C E B (2) ∵ AB = AC , BD = CD , ∴ AD ⊥ BC , ∴ ∠ ADC =90°. ∵四边形 ABDE 是平行四边形 , ∴ AE 平行且等于 BD , 即 AE 平行且等于 DC , ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 . 而∠ ADC =90° , ∴四边形 ADCE 是矩形 . A D C E B 1. 如图 , 直线 EF ∥ MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、 ∠ CAF 的角平分线 , 则四边形 ABCD 是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 当堂练习 2. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 DE ∥ AC ， CE ∥ BD ， DE 、 CE 交于点 E ，四边形 CEDO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEDO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ DE∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEDO 是平行四边形 . ∴四边形 CEDO 是矩形（矩形的定义） . 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 定理 1 ：对角线相等的平行四边形是矩形 . 定理 2 ：有三个角是直角的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 . 矩形的判定 定义 定理 课堂小结