【推荐】专题8-1 空间几何体的结构及其三视图和直观图-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 23页

真题回放 ‎1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【考点】三视图 ‎【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎【考点】1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线. ‎ ‎3.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B ‎4.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5.【2017山东，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 柱、锥、台、球及其简单组合体　　‎ A 三视图 A 直观图 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、判断几何体的特征，有时结合外接球、内切球考察截面形状等（选择、填空、解答题第一问）2、考查几何体的某个视图（正视图、侧视图、俯视图），或求某个视图的相关边长（选择、填空题）3、常以三视图为载体，考查多个知识点，求最值，或考查开放性问题等。‎ 知识链接 ‎1．多面体的结构特征 ‎2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3.空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的名称 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．‎ ‎②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．‎ ‎4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．常见旋转体的三视图 ‎(1)球的三视图都是半径相等的圆．‎ ‎(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．‎ ‎(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．‎ ‎(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．‎ ‎2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” 融会贯通 题型一　空间几何体的结构特征 典例1　给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎③存在每个面都是直角三角形的四面体；‎ ‎④棱台的侧棱延长后交于一点．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】　②③④‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；‎ ‎(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎(2)给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．‎ 其中不正确的命题为________．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)①②③‎ ‎【解析】　(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.‎ ‎(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．‎ 综上，命题①②③不正确．‎ 题型二　简单几何体的三视图 命题点1　已知几何体，识别三视图 例2　(2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是(　　)‎ ‎【答案】　D 命题点2　已知三视图，判断几何体的形状 例3　(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎【答案】　A 命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4　(2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为(　　)‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D. ‎ 解题技巧与方法总结 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ ‎(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，‎ 则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 题型三　空间几何体的直观图 例5　(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ A.a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ ‎(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【答案】　(1)D　(2)C 解题技巧与方法总结 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．‎ ‎【变式训练】如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________．‎ ‎【答案】　a2‎ ‎ ‎练习检测 ‎1.（衡水金卷2018届全国高三大联考文科数学试题）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A.‎ 故选A. ‎ ‎2．（河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试卷）一个正三棱柱的侧棱长的底面边长的倍，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧（左）视图是一个矩形，若这个矩形的面积等于，则该正棱柱的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 3．（河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试卷）一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.‎ ‎【答案】学 ‎【解析】把平面图还原是一个三棱台，两个三角形分别为上下底面，所以与数对应的是学 故答案为 学 ‎10．（河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评 数学（文））某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长的棱为_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎ ‎ ‎4．（吉林省实验中学2016-2017学年度高二下学期期末）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ )‎ A. 8 B. ‎6‎‎2‎‎2‎ C. 10 D. ‎‎8‎‎2‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，该几何体四个面面积分别为‎8,6,10,6‎‎2‎，最大的为10，故选C．‎ ‎5．（2017届福建省泉州市高三3月质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）‎ A. 圆弧 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分 ‎【答案】D ‎【解析】由已知中的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行与旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，‎ 故选：D. ‎ ‎6．（2017届四川省资阳市高三上学期期末）一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，几何体为一个三棱柱，底面为腰为的等腰直角三角形，高为，得到的最大球为等腰直角三角形的内切球，其半径为，最接近，故选A.‎ ‎7．（黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前训练）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 8．（2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. ‎4+4‎‎3‎ B. ‎4+6‎‎3‎ C. ‎8+6‎‎3‎ D. ‎‎8+8‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时也考查了空间想象能力，考查了由三视图求几何体的表面积，解决此类题目的关键是得到该几何体的形状以及几何体中的数量关系. ‎ ‎9．（宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中， ，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A，所以正确答案为C.‎ 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. ‎ ‎ ‎