2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-3 椭圆及其性质（讲解部分） 36页

专题九　平面解析几何 §9.3 　椭圆及其性质 高考文数 考点一　椭圆的定义及标准方程 考点清单 考向基础 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点 F 1 , F 2 的 距离的和等于常数(大于| F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫 做椭圆. 椭圆定义中的常数2 a >| F 1 F 2 |,即对椭圆上任意一点 M 都有| MF 1 |+| MF 2 |=2 a > | F 1 F 2 |.这个条件是必要的,否则其轨迹就不是椭圆.事实上,若2 a =| F 1 F 2 |,则其轨 迹是 线段 F 1 F 2      ;若2 a <| F 1 F 2 |,则其轨迹不存在. 2.(1)椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义,通过建立恰当的坐标系求出 的,参数 b =        ,它是因为化简方程的需要而引入的,它具有明确的几 何意义: b 表示短半轴的长. (2)求椭圆的标准方程应从 “定形”“定式”和“定量” 三个方面去思考. “定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐 标轴上;“定式”是根据“形”设椭圆方程的具体形式;“定量”是指用 定义法或待定系数法确定 a , b 的值. 考向一　椭圆定义的应用 考向突破 例1     F 1 , F 2 是椭圆   +   =1的左、右焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F 2 =45 ° , 则△ AF 1 F 2 的面积为   (　　) A.7　    B.   　    C.   　    D.   解析　由题意可得, a =3, b =   , c =   ,| AF 1 |+| AF 2 |=6. ∴| AF 2 |=6-| AF 1 |. 在△ AF 1 F 2 中,| AF 2 | 2 =| AF 1 | 2 +| F 1 F 2 | 2 -2| AF 1 |·| F 1 F 2 |·cos 45 ° =| AF 1 | 2 -4| AF 1 |+8, ∴(6-| AF 1 |) 2 =| AF 1 | 2 -4| AF 1 |+8,解得| AF 1 |=   , ∴△ AF 1 F 2 的面积 S =   ×   × 2   ×   =   ,故选C. 答案    C 考向二　求椭圆的标准方程 例2　已知椭圆 C 经过点 A (2,3),且点 F (2,0)为其右焦点,则椭圆 C 的标准方程 为 　　　     . 解析　解法一:依题意,可设椭圆 C 的方程为   +   =1( a > b >0),且可知左焦 点 F '(-2,0). 从而有   解得   又 a 2 = b 2 + c 2 ,所以 b 2 =12, 故椭圆 C 的标准方程为   +   =1. 解法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为   +   =1( a > b >0),则   解得 b 2 =12或 b 2 =-3(舍去),从而 a 2 =16,所以椭圆 C 的标准方程为   +   =1. 答案       +   =1 考点二　椭圆的几何性质 考向基础 　 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程   +   =1( a > b >0)   +   =1( a > b >0) 一般方程 Ax 2 + By 2 =1( A >0, B >0, A ≠ B ) 图形     焦点坐标 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c ), F 2 (0, c ) 顶点坐标 A 1 (- a ,0), A 2 ( a ,0), B 1 (0,- b ), B 2 (0, b ) A 1 (0,- a ), A 2 (0, a ), B 1 (- b ,0), B 2 ( b ,0) 长轴 长轴长 A 1 A 2 =2 a , a 是长半轴的长 短轴 短轴长 B 1 B 2 =2 b , b 是短半轴的长 焦距 焦距 F 1 F 2 =2 c , c 是半焦距 范围 | x | ≤ a ,| y | ≤ b | x | ≤ b ,| y | ≤ a 离心率 e =   =   (0< e <1) e 越接近1,椭圆越扁; e 越接近0,椭圆越圆 【知识拓展】 1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦 AB 长为   ,称为通径.   2.如图, P 为椭圆上的点, F 1 , F 2 为椭圆的两个焦点,且∠ F 1 PF 2 = θ ,则△ F 1 PF 2 的 面积为 b 2 ·tan   .   3.椭圆   +   =1与   +   = k (其中 a > b >0, k >0)有相同的离心率. 4. a + c 与 a - c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值. 5.设 P , A , B 是椭圆上不同的三点,其中 A , B 关于原点对称,则直线 PA 与 PB 的斜 率之积为定值-   . 考向一　求椭圆的离心率 考向突破 例3    (2020届安徽合肥调研,4)椭圆   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ,以 F 2 为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆的一个交点为 P ,若直线 PF 1 恰好与圆 F 2 相切于点 P ,则椭圆的离心率为   (　　) A.   -1　    B.   C.   　     D.   解析　解法一:∵直线 PF 1 恰好与圆 F 2 相切于点 P ,∴ PF 1 ⊥ PF 2 ,∵圆 F 2 过原 点,∴| PF 2 |= c ,又∵| PF 1 |+| PF 2 |=2 a ,∴| PF 1 |=2 a - c .在Rt△ F 1 PF 2 中,| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 = | F 1 F 2 | 2 ,即(2 a - c ) 2 + c 2 =4 c 2 ,∴ c 2 +2 ac -2 a 2 =0,∴ e 2 +2 e -2=0,又∵0< e <1,∴ e =   -1,故 选A. 解法二:∵直线 PF 1 恰好与圆 F 2 相切于点 P ,∴ PF 1 ⊥ PF 2 ,∵圆 F 2 过原点,∴| PF 2 | = c ,又∵| F 1 F 2 |=2 c ,∴| PF 1 |=   c ,由椭圆的定义知| PF 1 |+| PF 2 |=2 a ,即   c + c =2 a , ∴ e =   =   =   -1,故选A. 答案    A 考向二　解焦点三角形问题 例4    (2019四川成都顶级名校调研,6)已知 F 1 , F 2 是椭圆 C :   +   =1( a > b >0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且   ⊥   ,若△ PF 1 F 2 的面积为9,则 b 的值 为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 解析　根据椭圆的定义可知| PF 1 |+| PF 2 |=2 a ,又∵   ⊥   ,∴   | PF 1 || PF 2 |=9,| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 =4 c 2 .由(| PF 1 |+| PF 2 |) 2 =| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 +2| PF 1 || PF 2 |,得4 a 2 =4 c 2 +2 × 18. ∴ a 2 - c 2 =9,即 b 2 =9,又知 b >0,∴ b =3,故选C. 答案    C 考向基础 1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程   +   =1( a > b >0)与直线方程 y = kx + h 联立消去 y ,整理成 Ax 2 + Bx + C =0( A ≠ 0)的形式,则: 2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )两点,则 | AB |=   =   ·   Δ = B 2 -4 AC 直线与椭圆的位置关系 Δ >0 直线与椭圆相交,有两个公共点 Δ =0 直线与椭圆相切,有一个公共点 Δ <0 直线与椭圆相离,无公共点 考点三　直线与椭圆的位置关系 =   =   ·   ( k 为直线斜率, k ≠ 0). 考向一　直线与椭圆的位置关系的判定 考向突破 例5　直线 y = kx - k +1与椭圆   +   =1的位置关系是   (　　) A.相交　    B.相切　    C.相离　    D.不确定 解析　解法一:由   得4 x 2 +9( kx - k +1) 2 -36=0,即(9 k 2 +4) x 2 +9(2 k -2 k 2 ) x + 9( k 2 -2 k -3)=0. ∵9 k 2 +4 ≠ 0,∴ Δ =18 × 18( k - k 2 ) 2 -36( k 2 -2 k -3)(9 k 2 +4)=36(32 k 2 +8 k +12)=72(16 k 2 + 4 k +6)=72   >0恒成立, ∴直线 y = kx - k +1与椭圆   +   =1相交,故选A. 解法二:直线 y = kx - k +1= k ( x -1)+1恒过定点(1,1).因为   +   =   <1,所以点(1,1) 在椭圆   +   =1的内部,所以直线 y = kx - k +1与椭圆   +   =1相交,故选A. 答案    A 例6    (2019辽宁大连双基测试,9)斜率为1的直线 l 与椭圆   + y 2 =1相交于 A , B 两点,则| AB |的最大值为   (　　) A.2　    B.   　    C.   　    D.   考向二　直线与椭圆相交的弦长问题 解析　设 A , B 两点的坐标分别为( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),直线 l 的方程为 y = x + t ,由   消去 y 得5 x 2 +8 tx +4( t 2 -1)=0,则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   ,∴| AB |=   ·   =   ·   =   ·   ,∴当 t =0时,| AB | max =   ,故 选C. 答案    C 方法1 　求椭圆的标准方程的方法 1. 定义法 :根据椭圆的定义确定2 a ,2 c ,然后确定 a 2 , b 2 的值,再结合焦点位置写 出椭圆的标准方程. 2. 待定系数法 :根据椭圆焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根据条 件列出关于 a , b 的方程组,解出 a , b ,从而写出椭圆的标准方程. 3.当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为   +   =1( m >0, n > 0, m ≠ n ) ,也可设为 Ax 2 + By 2 =1( A >0, B >0, A ≠ B ) . 方法技巧 例1    (2019课标全国Ⅰ,12,5分)已知椭圆 C 的焦点为 F 1 (-1,0), F 2 (1,0),过 F 2 的 直线与 C 交于 A , B 两点.若| AF 2 |=2| F 2 B |,| AB |=| BF 1 |,则 C 的方程为   (　　) A.   + y 2 =1　     B.   +   =1 C.   +   =1　    D.   +   =1 解析　本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了数 学运算能力和方程的思想;考查的核心素养是数学运算. 令| F 2 B |= x ( x >0),则| AF 2 |=2 x ,| AB |=3 x ,| BF 1 |=3 x , | AF 1 |=4 a -(| AB |+| BF 1 |)=4 a -6 x , 由椭圆的定义知| BF 1 |+| BF 2 |=2 a =4 x , 所以| AF 1 |=2 x . 在△ BF 1 F 2 中,由余弦定理得| BF 1 | 2 =| F 2 B | 2 +| F 1 F 2 | 2 -2| F 2 B |·| F 1 F 2 |cos∠ BF 2 F 1 , 即9 x 2 = x 2 +2 2 -4 x cos∠ BF 2 F 1 ①, 在△ AF 1 F 2 中,由余弦定理得| AF 1 | 2 =| AF 2 | 2 +| F 1 F 2 | 2 -2| AF 2 |·| F 1 F 2 |cos∠ AF 2 F 1 , 即4 x 2 =4 x 2 +2 2 -8 x cos∠ AF 2 F 1 ②, 由①②得 x =   , 所以2 a =4 x =2   , a =   , b 2 = a 2 - c 2 =2. 故椭圆的方程为   +   =1.故选B.   答案    B 方法2　 求椭圆的离心率(或其取值范围)的方法 1.求解椭圆离心率常用的方法:(1)若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位 置确定 a 2 , b 2 ,求出 a , c 的值,从而利用公式 e =   直接求解;(2)若椭圆的方程未 知,则根据条件及几何图形建立关于 a , b , c 的等式,化为关于 a , c 的齐次方程, 进而转化为关于 e 的方程进行求解,最后注意 e 的取值范围. 2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关 于 a , c 的齐次不等式进行求解. 例2    椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左焦点为 F ,若 F 关于直线   x + y =0的对称 点 A 是椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   -1 解析　解法一:设 F (- c ,0)关于直线   x + y =0的对称点 A 的坐标为( m , n ), 则   ∴ m =   , n =   c ,即 A   , ∵点 A 在椭圆 C 上,∴   +   =1,把 b 2 = a 2 - c 2 代入, 化简可得 e 4 -8 e 2 +4=0,解得 e 2 =4 ± 2   ,又0< e <1, ∴ e =   -1,故选D. 解法二:设右焦点为 F ', AF 交直线   x + y =0于点 M ,则 AF ⊥ OM 且 M 为 AF 的中 点,连接 AF '.∵ O 为 FF '的中点,∴ OM ∥ AF ',∴ AF ⊥ AF '. ∵直线   x + y =0的倾斜角为120 ° ,∴∠ MOF =60 ° , ∴∠ AF ' F =60 ° . 在Rt△ AFF '中,不妨设| AF '|=1,则| FF '|=2,| AF |=   , ∴ e =   =   =   =   -1.故选D. 答案    D 例3    (2020届安徽六校第一次联考,10)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的右 焦点为 F ,短轴的一个端点为 P ,直线 l :4 x -3 y =0与椭圆相交于 A 、 B 两点.若| AF |+ | BF |=6,点 P 到直线 l 的距离不小于   ,则椭圆离心率的取值范围为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　设椭圆的左焦点为 F ',连接 AF ', BF ',如图所示.   由椭圆的对称性可知, A , B 关于原点对称,则| OA |=| OB |, 又| OF '|=| OF |,∴四边形 AFBF '为平行四边形, ∴| AF |=| BF '|, 又| AF |+| BF |=| BF |+| BF '|=2 a =6,解得 a =3. 不妨设 P (0, b ),则由点 P (0, b )到直线 l 的距离不小于   ,得   ≥   , 解得 b ≥ 2, ∴ e =   =   ≤   ,又0< e <1,∴ e ∈   ,故选C. 答案    C 方法3 　解决弦中点问题的方法 涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时,常用“点 差法”“设而不求法”,并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关 系、中点坐标公式及参数法求解,但在求得直线方程后,一定要代入原方程 进行检验.   例4　已知点 A 、 B 的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线 AM 、 BM 相交于点 M ,且 它们的斜率之积为-2. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)若过点 N   的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C 、 D 两点,且 N 为线段 CD 的中 点,求直线 l 的方程. 解析　(1)设 M ( x , y ), 因为 k AM · k BM =-2,所以   ·   =-2( x ≠ ± 1), 化简得2 x 2 + y 2 =2( x ≠ ± 1),即为动点 M 的轨迹方程. (2)设 C ( x 1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ). 解法一:当直线 l ⊥ x 轴时,直线 l 的方程为 x =   ,则 C   , D   ,此时线 段 CD 的中点不是 N ,不合题意. 故设直线 l 的方程为 y -1= k   , 将( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 )代入2 x 2 + y 2 =2( x ≠ ± 1)得 2   +   =2,   ① 2   +   =2,   ② ①-②整理得 k =   =-   =-   =-1, ∴直线 l 的方程为 y -1=-1 ×   , 即所求直线 l 的方程为2 x +2 y -3=0. 解法二:当直线 l ⊥ x 轴时,直线 l 的方程为 x =   ,则 C   , D   ,此时线 段 CD 的中点不是 N ,不合题意. 故设直线 l 的方程为 y -1= k   ,将其代入2 x 2 + y 2 =2( x ≠ ± 1),化简得(2+ k 2 ) x 2 + 2 k   x +   -2=0( x ≠ ± 1), 所以4 k 2   -4(2+ k 2 )   >0,   ① 由根与系数的关系得   又由 N 为线段 CD 的中点得   =-   =   ,解得 k =-1,将 k =-1代入①中可 知满足条件. 此时直线 l 的方程为 y -1=-1 ×   ,即2 x +2 y -3=0. 故所求直线 l 的方程为2 x +2 y -3=0.