2020_2021学年新教材高中数学第8章函数应用章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册 5页

第8章 函数应用 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 函数的零点与方程的根的关系及应用 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．‎ 从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．‎ ‎【例1】　(1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．‎ ‎(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为_____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________．‎ ‎[思路点拨]　　(1)可通过解方程来求零点．‎ ‎(2)通过图象和零点存在性定理来解．‎ ‎(1)1　(2)2　3　[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1．‎ ‎(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3．]‎ - 5 -‎ 判断函数的零点个数的三种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.‎ (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.‎ (3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.‎ ‎1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．‎ ‎[解]　(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．‎ 当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)‎ ‎＝－‎36m－20≥0，得m≤－．‎ ‎∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．‎ 综上所述，m≤－．‎ ‎(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1＋x2＝－，x1x2＝．‎ ‎∵＋＝－4，即＝－4，‎ ‎∴－＝－4，解得m＝－3．‎ 且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，‎ ‎∴m的值为－3．‎ - 5 -‎ 函数的零点的应用 求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．‎ ‎【例2】　若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[思路点拨]　 由函数在指定区间有零点，转化为相应方程有实数根，分离参数转化为求值域问题．‎ 　[因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，‎ 所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．‎ 方程a＝4x－2x可变形为a＝－，‎ 因为x∈[－1,1]，所以2x∈，所以－∈．‎ 所以实数a的取值范围是．]‎ ‎1．函数在指定区间上有零点通常转化为相应方程有解问题，能分参就优先分离参数，转化为求值域问题．‎ ‎2．涉及已知函数零点的个数求参数的取值范围问题，经常转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数与形的结合，求出参数的取值范围．‎ ‎2．已知函数f(x)＝－x2－2x, g(x)＝ ‎ ‎(1)求g(f(1))的值；‎ ‎(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2．‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，‎ - 5 -‎ 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是．‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎【例3】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．‎ ‎(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)‎ ‎(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，‎ 依题意得，当064时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64