人教版八数下册第16章二次根式全套课件 194页

人教版八年级数学下册精 编版课件 第十六章 二次根式 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 16.1 二次根式 16.2 二次根式的乘除 16.3 二次根式的加减 16.1 二次根式 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 二次根式有意义的条件和非负性 第一课时 返回 　　 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播 得越 远， 从而 能收看到电视节目的区域越广，电视塔高 h （单位 ： km ）与电视节目信号的传播半径 r （单位： km ）之 间存 在近似关系 ，其中地球半径 R ≈ 6 400 km ．如 果两个电视塔的高分别是 h 1 km 、 h 2 km ，那么它 们的 传播半径之比 是 . 公式中 中 的 表示什么意义？ 式子 表示 什么？　　 导入新知 1. 理解二次根式的 概念 . 2. 掌握二次根式 有意义的条件 ，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围 . 素养目标 3. 会利用二次根式的 双重非负性 解决相关问题 . 　（ 1 ） 面积为 3 的正方形的边长为 _______ ，面积为 S 的正方 形 的 边长为 _______ ． （ 2 ） 一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m 2 ，则它的宽为 ______m ． （ 3 ） 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位： s ）与开始落 下时离地面的 高度 h （单位： m ）满足关系 h =5 t 2 ， 如 果用含有 h 的式子表示 t ， 则 t 为 _____ ． 探究新知 知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （ 1 ） 这 些式子分别表示什么意义？ 分别表 示 3 ， S ， 65 ， 的 算术平方根 ． ① 根指数都为 2 ; ② 被开方数为 非负数 . （ 2 ） 这 些式子有什么共同特征？ 探究新知 在 前面 的 问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 　 我们知道，一 个正数 有 两个 平方根； 0 的平方根为 0 ； 在实数范围内，负数没有平方根 . 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是 正数或 0. 　 探究新知 一般地，我们把形如 的式子叫做 二次根式 . “ ” 称为二次根号 . 两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a ≥0 注意： a 可以是 数， 也可以是 式 . 探究新知 归纳总结 例 1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： ( 1 )( 4 )( 6 ) 均是二次根式 ，其中 x 2 + 4 属于“非负数+正数”的形式一定大于零. ( 3 )( 5 ) ( 7 ) 均不是二次根式 . 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 （ 1 ） ； （ 2 ） 81 ； （ 3 ） ；（ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） ；（ 7 ） 1. 下列各式是二次根式吗 ? 是 是 是 是 是 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 6 ） （ 5 ） （ 7 ） （ 8 ） （ 9 ） （ 10 ） 不是 不是 不是 不是 不是 例 2 当 x 是怎样的实数时 , 在实数范围内有意义 ? 解： 由 x -2 ≥0 ，得 x ≥ 2. 当 x ≥2 时， 在实数范围内有意义 . 【 思考 】 1 . 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解： 由题意得 x -1 ＞ 0 ， ∴ x ＞ 1 . 探究新知 素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母 的取值范围 （ 1 ） 解： ∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x +3≥ 0，∴ x ≥-3 . ∵ 分母不能等于零， ∴ x -1≠0，∴ x ≠1 . ∴ x ≥-3 且 x ≠1 . 归纳小结 ： 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数 ≥0 ，列不等式求解即可 . 若二次根式为分式的分母时，应同时考虑 分母不为零 . 探究新知 （ 2 ） 【 思考 】 2. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解： ( 1 )∵ 无论 x 为任何 实数， ∴当 x =1 时， 在实数范围内有意义 . ( 2 ) ∵ 无论 x 为任何 实数， - x 2 -2 x -3=-( x +1) 2 -2 ＜ 0 ， ∴ 无论 x 为 任 何 实数 ， 在实数范围内都 无 意义 . 探究新知 归纳小结： 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当 分组凑成 含 完全平方 的形式，再进行分析讨论 . （ 1 ） （ 2 ） ( 1 ) 单个二次根式如 有意义的条件： A ≥0 ； ( 3 ) 多个二次根式相加 如 有意义的条件： ( 2 ) 二次根式作为分式的分母如 有意义的条件 ： A ＞ 0 ； ( 4 ) 二次根式与分式的和 如 有 意义的条件： A ≥0 且 B ≠0 . 探究新知 归纳总结 二次根 式有 意义的条 件应用的不同类型： 2. x 取何值时 , 下列二次根式有意义 ? 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） x ≥1 x ≤0 （ 3 ） （ 4 ） x 为全体实数 x> 0 （ 5 ） （ 6 ） x ≥0 x ≠0 x ≥-1 且 x ≠ 2 ( 7 ) （ 9 ） x >0 x 为全体实数 ( 8 ) 【 新 知思 考 】 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性 【 回 顾思 考 】 二 次根 式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 因为 x ² ≥0 ，所以 x 可以为 任意实数 . 要使 x ³ ≥0 ，必须 x ≥0 . 当 a ＞ 0 时， 表示 a 的算术平方根， 因此 ； 当 a =0 时， 表示 0 的算术平方根， 因此 . 这就是说，当 a ≥0 时 ， . 呢？ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根 . 对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条： （ 1 ） a 为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥0 ； （ 2 ） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0 . 探究新知 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数 非负 二次根式的值 非负 归纳总结 解： 由题意可知 a+ 3=0, b -2=0, c -1=0 , 解得 a =-3, b =2, c =1 . 所以 2 a - b +3 c = - 3×2-2+3×1 = - 5. 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值 例 3 若 ， 求 2 a - b +3 c 的值 . 提示 ： 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零 . 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式 . 3. 已知| 3 x-y- 1 |和 互 为相反数，求 x+ 4 y 的平方根． 解： 由题意得 3 x - y -1=0 且 2 x + y -4=0 ． 解得 x= 1 ，y= 2 ． ∴ x+ 4 y =1+2 × 4=9 ， ∴ x+ 4 y 的平方根为 ± 3 . 巩固练习 探究新知 素养考点 2 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 例 4 已 知实数 x 、 y 满足等式 ， 求 x 2 -2 xy + y 2 的值 . 解： 由题意得 解得： x= 3 把 x= 3 , 代入得 y =-5 所以 x 2 -2 xy+y 2 = （ x-y ) 2 =(3+5) 2 =64 总结： 若 ， 则根据被开方数大于 等于 0 ，可 得 a= 0 . 4. 已 知 y = , 求 3 x +2 y 的算术平方根 . 解： 由题意得 ∴ x =3， ∴ y =8 ， ∴ 3 x +2 y = 3×3 ＋ 2×8= 25 . ∵ 25的算术平方根为5 ， ∴ 3 x +2 y 的算术平方根为5 ． 巩固练习 巩固练习 连接中考 C 1. （2018•扬州）使 有意义的 x 的取值范围是（　　） A． x ＞3 B． x ＜3 C． x ≥3 D． x ≠3 A 2 .（2019•黄石） 若式子 在实数范围内有意义 ，则 x 的取值范围是（　　） A． x ≥1且 x ≠2 B． x ≤1 C． x ＞1且 x ≠2 D． x ＜1 连接中考 巩固练习 3. （2018•苏州）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A ． B． C ． D． D A D -1 3. 当 x = ____ 时，二次根式 取最小值，其最小值 为 ______ ． 0 课堂检测 基础巩固题 1. 下面的式子是二次根式的是(　　) A . B. C. D. a 2. （2018•达州）二次根 式 中的 x 的取值范围是（　　） A． x ＜﹣2 B． x ≤﹣2 C． x ＞﹣2 D． x ≥﹣2 4. ( 1 ) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围 是 _______; ( 2 ) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ___________ . x ≥1 x ≥0 且 x ≠2 课堂检测 基础巩固题 5. ( 1 ) 若二次根式 有意义，求 m 的取值范围． 解： 由题意得 m- 2≥0 且 m 2 -m- 2≠0 ， 解得 m ≥ 2且 m ≠-1 ，m ≠2 ， ( 2 ) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义， 求 m 的取值范围． 解： 由题意得 x 2 +6 x+m≥ 0 ，即 ( x+ 3 ) 2 +m- 9≥0 . 课堂检测 基础巩固题 ∴ m ＞2 ． ∵ ( x +3 ) 2 ≥0， ∴ m -9≥0，即 m ≥9 . 已知 a ， b 为等腰三角形两条边长 ，且 a ， b 满足 ， 求此三角形的周长． 解： 由题意得 ∴ a= 3 ， ∴ b= 4 . 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3+3+4=10 ； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4+4+3=11 ． 能力提升题 课堂检测 先阅读，后回答问题： 当 x 为何值时， 有意义？ 解：由题意得 x ( x -1 ) ≥0 由乘法法则得 解得 x ≥1 或 x ≤0 即当 x ≥1 或 x ≤0 时， 有意义 . 课堂检测 拓广探索题 体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， 有意义？ 解： 由题意得 则 解得 x ≥2 或 x ＜ ， 即当 x ≥2 或 x ＜ 时 ， 有意义 ． 课堂检测 拓广探索题 二次根式 定义 带有二次根号 在有 意义条件 下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其 解集 . 被开方数为 非负数 二次根式的 双重非负性 二次根 式 中 , a ≥0 且 ≥ 0 课堂小结 二次根式化简 第二课时 返回 【 思考 】 下 列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a a≥ 0 1 导入新知 我们都是非负数 哟！ 【 思考 】 若 下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 1 16 4 1 a a 为任意数 【 想 一 想 】 你发现了什么？ 导入新知 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数 . 2. 会运用二次根式的 两个性质 进行化简计算 . 素养目标 1 . 经历探索性 质 = a （ a ≥0 ） 和 = a （ a ≥0 ） 的过程，并理解其意义 ，体验归纳、猜想的思想方法 . （ 2 ）什 么是一个数的算术平方根？如何表示？ （ 1 ） 什 么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一 般地，若一个数的平方等于 a ，则这个数就叫做 a 的平方 根 . 若 一个正数的平方等于 a ，则这个数就叫做 a 的算术平方 根 . a 的平方根是 用 　 ( a ≥0) 表 示 . 知识点 1 （ a ≥0 ) 性质 探究新知 （ 1 ）填空： （ 2 ）通过（ 1 ）的思考，你能确定 ( ) ² （ a ≥0 ）的化简结果吗？说说你的理由 . 4 0 探究新知 2 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 4 的非负数，因此有 ( )² = 4. 同理， 分别是 的算术平方 根 . 因此 , , ( )²=2 ( )²= ( )²=0 探究新知 的性质： 一般地， ＝ a ( a ≥ 0 ) . 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 . 注意 ：不要忽 略 a ≥ 0 这 一限制条件 . 这是使二次根式 有意义的前提条件 . 探究新知 归 纳： 例 1 计算： 解 ： 积的乘方： （ ab ） 2 = a 2 b 2 探究新知 素养考点 1 利用 的性质进行计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） ( 2 ) 可以用到幂的哪条基本性质呢？ 解 : 巩固练习 1. 计算： （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 解： 探究新知 素养考点 2 利用 的性质分解因式 总结 ： 本题逆用了 在实数范围内 分解因式 . 例 2 在实数范围内分解因式： （ 1 ） 4 x 2 - 5 ( 2 ) m 4 - 6 m 2 + 9 （ 1 ） （ 2 ） 巩固练习 2. 在实数范围内分解因式： （ 1 ） x 2 -11 ( 2 ) x 4 -14 x 2 +49 解： （ 1 ） x 2 -11 = ( x + )( x - ) ( 2 ) x 4 -14 x 2 +49 =( x 2 -7) 2 =( x - ) 2 ( x + ) 2 2 0.1 0 化简下列根式，想一想 知识点 2 的性质 探究新知 化简后，你能确定 的化简结果吗？ ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a ( a ≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝ a ( a ≥ 0) . 探究新知 ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a ( a ＜ 0) 【 猜 一 猜 】 当 a ＜ 0 时， = ？ - a 探究新知 a ( a ≥ 0) -a ( a ＜ 0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 . 探究新知 归 纳： 的 性质： 解： 探究新知 素养考点 1 利用 的性质进行计算 警 示 ： 而 3.14 ＜ π ，要注意 a 的正负性 . 例 3 化简： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 【 讨 论 】 （ 1 ）在 中， 可否去掉 “ a ≥0” ？如果去掉 “ a ≥0”, 结论将会发生怎样的变化？ （ 2 ）第二小题中的 能 否直接使用性质 进行化简？ 探究新知 探究新知 方法点拨 计算 一般有两个 步骤 : ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式, 即 ; ②去掉绝对值符号 ,即 3 . 请 同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） × × √ √ 巩固练习 （ ） （ ） （ ） 3 7 4 81 巩固练习 4. 化简： （1 ） = ; （ 2 ） = ; （3） = ; （ 4 ） = ; （ 5 ） =______ ; （ 6 ） =_______ . 0.6 10 -3 【 议 一 议 】 如 何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方 , 后平方 先平方，后开方 a ≥ 0 a 取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a 的算 术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 探究新知 解： 由数轴可知 a ＜0 ，b ＞0 ，a-b ＜0 ， ∴原式= | a |-| b | + | a - b | = - a - b -（ a - b ） = -2 a . 例 4 实数 a 、 b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简 : a b 探究新知 素养考点 2 几何图形与 的性质相结合的题目 -1 0 1 2 a 5. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 . 1 巩固练习 6. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图 所示 , 化简 的 结果是 (　　) A .-2 a + b B.2 a - b C.- b D .b A a b 0 （ 1 ）含 有数或表 示数的字母； （ 2 ）用基本运算符号连接数或表示数的字母． （ a ≥0 ） 　　 回 顾我们学过的式子，如 ， 这些式子有哪些共同 特征？ 知识点 3 代数式的定义 探究新知 用 基本运算符号 （基本运算包 括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为 代数式 . 数 表示数的字母 【 想 一 想 】 到 现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 探究新知 归 纳： 探究新知 素养考点 1 利用代数式的定义判断代数式 例 5 下 列式子: ( 1 ) x ; ( 2 ) a - b ; ( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) m =1+ n ; ( 6 ) 2 x >1; ( 7 ) -2. 其中是代数式的有 ( 　　 ) A.4个　　　 B.5 个 C.6 个　　　 D.7个 B 7. 下列式子是代数式的有 ( ) ① a 2 + b 2 ; ② ; ③13; ④ x =2; ⑤ 3× （ 4 － 5 ） ; ⑥ x － 1≤0; ⑦ 10 x +5 y =15 ; ⑧ A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 C 巩固练习 解： （ 1 ） 船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h ，逆水行驶的速度 是 km/h ． 例 5 （ 1 ） 一条河的水流速度是 2.5 km/h ，船在静水中的速度是 v km/h ，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水 行驶 时的速度； （ 2 ） 如图，小语要制作一个 长与宽之比为 5:3 的长方形贺卡，若 面积为 S ，用代数式表示出它的长 . （ 2 ） 设贺卡的长为 5 x , 则宽为 3 x . 依题意得 15 x 2 = S ，所以 所以它的长为 探究新知 素养考点 2 列代数式 探究新知 归纳总结 列代数式的要点： ①要抓住 关键词语 ，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确 运算顺序 ； ③牢记一些 概念和公式 ． 7. 如 图，是一个圆 形挂钟，正面面积为 S ，用代数式表示出钟的半径为 __________. 巩固练习 1. （2019•黄冈） 计算 的结果是 ____ ． 巩固练习 连接中考 4 2 . （ 2018•无锡）下列等式正确的是（　　） A． B ． C． D ． A 1. （2018•临安区）化简 的结果是 （　　） A．﹣2 B ．±2 C．2 D．4 C 2. 当 1< x <3 时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 D 课堂检测 基础巩固题 3. 在下列各式中，不是代数式的是（　　） A . 7 B . 3＞2 C . D． B 4. 计算： 解 : 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 基础巩固题 5. 在实数范围内分解因式： 解： 课堂检测 （ 1 ） x 2 - 3 ( 2 ) y 4 - 4 y 2 + 4 （ 1 ） x 2 - 3 = ( 2 ) y 4 - 4 y 2 + 4 = ( y 2 - 2) 2 = = 基础巩固题 实 数 a、b 在数轴上的对应点如图所示 ， 化简： . 解： 根据数轴可知 b ＜ a ＜0 ， ∴ a+ 2 b ＜0 ，a-b ＞0 ， 则 =| a +2 b |+| a - b | = -a- 2 b+a-b=- 3 b ． 能力提升题 课堂检测 a b 0 已知 a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边长，化简： 解： ∵ a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边长， ∴ a + b +c ＞ 0 ， b + c ＞ a ， b + a ＞ c ， ∴原式= |a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c- （ b+c-a ） + （ b+a-c ） =a+b+c-b-c+a+b+a-c = 3 a+b-c． 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数 ， a + b +c ＞ 0 两边之和大于第三边， b + c - a ＞ 0 ， c - b - a＜ 0 课堂检测 拓广探索题 二次根式 性质 ( a ≥ 0 ) . 拓展性质 课堂小结 （ a 为 全体实数） 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 16.2 二次根式的乘除 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年 级 下册 二次根式的乘法 第一课时 返回 导入新知 苹 果 ios 手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm ，宽为 cm ，则它的面积是多少呢？ 如何计算 ？ 1. 掌握二 次根式 乘法法则 . 2. 会运用二次根式的 乘法法则 和 积的算术平方根 的性质进行简单运算 . 素养目标 ( 1 ) = ___ × ___=____; =_________; 计算下列各式 : 2 3 6 4 5 20 5 6 30 观察两者有什么关系？ 探究新知 知识点 1 二次根式的乘法 ( 2 ) = ___ × ___=____; ( 3 ) = ___ × ___=____; =_________; =_________ . 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 你 发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 猜测： 探究新知 不成立！ 探究新知 【 思考 】 成立吗？ 没有意义！ 因此被开方数 a ， b 需要满足什么条件？ a ， b 是非负数，即 a ≥0, b ≥0 语言表述： 算术平方根的 积 等于各个被开方数 积的算术平方根 . 二次根式的乘法法 则是 : 二次根式相乘， ________ 不变， ________ 相乘 . 根指数 被开方数 注意 ： a , b 都必须是非负数 . 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数． 探究新知 例 1 计算 : 解 : 探究新知 素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算 （ 1 ） （ 2 ） ( 1 ) ( 2 ) 【 想 一 想 】 下 边的式子如何运算？ 解 : 探究新知 总结： 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ） 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 A. B. C. D. 1. 计算 的结果是 ( ) A. B.4 C. D.2 C 2 . 下面计算结果正确的是 ( ) B 3. 计算 ： ____. 20 巩固练习 【 思考 】 你 还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算 4 a 2 ·5 a 4 = . 20 a 6 探究新知 例 2 计算 : 解 : 探究新知 素养考点 2 因数不是 1 二次根式的乘法运算 总结： 当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项 式的法则计算，即 （ 1 ） （ 2 ） ( 1 ) 可类 比前面 的 计 算 哦！ ( 2 ) 探究新知 归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ① 多 个二次根式相乘时此法则也适用，即 ② 当 二次根号外有因数 ( 式 ) 时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数 ( 式 ) 的积作为根号外的因数 ( 式 ) ，被开方数的积作为被开方数，即 4. 计算： 巩固练习 解： =20×18=360 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 解： ( 1 ) 方法一： ∵ ， ， 方法二 ： ∵ ， ， 探究新知 素养考点 3 二次根式的大小比较 例 3 比较大小 : （ 1 ） 与 ∴ ， ∴ ， 即 . 又 ∵20 ＜ 27 ， 又 ∵20 ＜ 27 ， 即 . 解： ( 2 ) ∵ ， ， 又 ∵52 ＜ 54 ， ∴ ， ∴ , 即 探究新知 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 （ 2 ） 与 探究新知 方法点拨 比较两个二次根式大小的方法： ( 1 ) 被开方数比较法 ，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大 ． ( 2 ) 平方法 ，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大 ． ( 3 ) 计算器求近似值法 ，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较． 巩固练习 5. 比较下列各组数的大小. ( 1 ) 和 ;　( 2 ) 和 ; 解 ： ∵ > 0 , >0,且 （ ） 2 =98, （ ） 2 =99 , ( 1 ) ∴ （ ） 2 < （ ） 2 , 又∵98<99, 即 < . ( 2 ) ∵ = , = , 又 ∵ > ∴ > . 反过来，就得到： （ a≥ 0 ， b ≥0 ） （ a≥ 0 ， b ≥0 ） 一 般地： 我们可以运用它来进行二次根式的化简 . 语言表述：积的算术平方根，等于积中 各因式 的算术平方根的 积 . 探究新知 知识点 2 二次根式的乘法法则的逆用 例 4 化简 ： （ 1 ）　　　 　；（ 2 ） ．　　 ( 2 ) 中 4 a 2 b 3 含有像 4 ， a 2 ， b 2 ，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外 . 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的乘法法则的逆用计算 = 解： （ 1 ） = 4 × 9 =36 （ 2 ） = = = 6. 化简 : 提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的 平方数（或平方式） 从根号里开出来。 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 解 : （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 例 5 计算： （ 1 ） 　 ；（ 2 ） ；（ 3 ） ．　　 探究新知 素养考点 2 利用二次根式的乘法法则及逆用计算 　　 解： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 探究新知 方法点拨 化简二次根式的步骤： 1 . 把被开方数 分解 因式 ( 或因数 ) ； 2 . 把各因式 ( 或因数 ) 积的算术平方根化为每个因式 ( 或因 数 ) 的 算术平方根的积 ； 3 . 如果因式中有平方式 ( 或平方数 ) ，应用关系式 把这个因式 ( 或因数 ) 开出来，将 二次根式化简 . 巩固练习 7. 计算：（ 1 ） 解： 原式 = =30 （ 2 ） 解： 原式 = 巩固练习 连接中考 B （2019 •株洲） ＝ （ 　　 ） A． B．4 C ． D． 1. 下面计算结果正确的是 ( ) A. B. C. D. D 基础巩固题 2. 若 ， 则（ 　　） A． x ≥6 B． x ≥0 C．0 ≤ x ≤6 D． x 为一切实数 A 课堂检测 4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞ ” “ ＜ ” 或“ = ”）： ＞ ＜ 3. 计算： （ 1 ） =______ （ 2 ） =______ （ 3 ） =______ （ 1 ） ___ （ 2 ） ___ 基础巩固题 课堂检测 5. 计算 ： 解： （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） =12×13 =156 = a 2 基础巩固题 课堂检测 （ 2 ） 6. 计算 ： 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） 解： （ 1 ） （ 2 ） 基础巩固题 1. 下面是意大利艺术家列奥纳多 · 达 · 芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积 . 解： 它的面积为 能力提升题 课堂检测 2. 设长方形的面积为 S ，相邻两边分别为 a , b . ( 1 )已知 , ，求 S ； 解： S = ab = （ 2 ）已知 , ，求 S . 课堂检测 能力提升题 = （ 1 ） S = ab = （ 2 ） = 240 = = = = （ 1 ）　　　 ；（ 2 ） ． 　 1. 化简 ： 解： （ 1 ） 　　 拓广探索题 课堂检测 （ 2 ） 2. 已 知 试着用 a , b 表示 . 解 ： 课堂检测 拓广探索题 又 二次根式乘法 法则 性质 拓展法则 课堂小结 二次根式的除法和最简二次根式 第二课时 返回 站 在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为 d 米，它们近似地符合公式 为 . 解： 问题 1 某一登山者爬到海拔 100 米处，即 时，他看到的水平线的距离 d 1 是多少？ 导入新知 问题 2 该登山者接着爬到海拔 200 米的山顶， 即 时，此时他看到的水平线的距离 d 2 是多少？ 问题 3 他从海拔 100 米处登上海拔 2 00 米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 解： 解： 【 思考 】 乘 法法则是如何得出的？ 二次根式的除法该怎样算 呢 ？除 法有没有类似的法则？ 导入新知 2. 会运用 除法法则 及 商的算术平方根 进行简单运算 . 1. 掌握 二次根式的除法法则 ，会用法则进行计算 . 素养目标 3. 理解 最简二次根式 的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式 . ( 1 ) ___ ÷ ___=____; = _____; 计算下列各式 : ( 2 ) ___ ÷ ___=____; ( 3 ) ___ ÷ ___=____; = _____; = _____. 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 探究新知 知识点 1 二次根式的除法 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？ 特殊 一般 探究新知 在前面发现的规律 中， a , b 的取值范围有没有限制呢？ a , b 同号就可以啦 探究新知 你们都错啦， a≥ 0 ， b ＞ 0, b= 0 时等式两边的二次根式就没有意义啦 不对，同乘法法则一样， a , b 都为非负数 . 二次根式的除法法则 : 文字叙述 : 算术平方根的 商 等于被开方数 商的算术平方根 . 当二次根式根号外的因数 ( 式 ) 不为 1 时，可类比单项式除以单项式法则，易得 探究新知 例 1 计算： 解 : 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的除法法则计 算 根 号 外因数是 1 的二次根式 提示： 像（ 2 ）中除式是分数或分式时，先要 转化 为乘法 再进行运 算 . （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 1. 计算： 解： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 解 : 探究新知 素养考点 2 提示： 类似 ( 2 ) 中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算 . 利用二次根式的除法法则计 算根号 外因数不是 1 的二次根式 例 2 计算 : （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 2 . 计算，看谁算的既对又 快 . 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 我们可以运用它来进行二次根式 的化 简 . 语言表述：商 的算术平方根，等于 被除式 的算术平方根除以除式的算术平方根 . 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质 . 类 似 地 ， 把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质 : 探究新知 知识点 2 商的算术平方根的性质 解 : 补充解法： 探究新知 素养考点 1 商的算术平方根的性质的应用 例 3 化简 : （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 还有 其它解 法吗 ? 解： 探究新知 提示： 像（ 5 ）可以 先用商 的算术平方根的性质，再运用积 的算术平方 根性 质 . （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） C 巩固练习 3 . 能使等式 成立的条件是 ( ) A. x ≥0 B. －3＜ x ≤0 C. x ＞3 D. x ＞3或 x ＜0 4 . 化简： （ 1 ） =_____ （ 2 ） =_____ （ 3 ） =_____ （ 4 ） =_____ 解： （ 1 ） （ 2 ） 　　 问题 1 　计算：　 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 　 ． （ 3 ） ． 探究新知 知识点 3 最简二次根式 问 题 2 　观察上面各小题计算的最后结果并思考： （ 1 ）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最 简了？ （ 2 ）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？ 探究新知 探究新知 归纳总结 最简二次根式应满足的条件： ( 1 )被开方数不含分母或分母中不含 ____________ ； ( 2 )被开方数中不含 ____________ 的因数或因式. 注： 当被开方数是整式时要先判断是否能够 分解因式 ，然后再观察各个因式的指数是否是 2 (或大于 2 的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式. 二次根式 开得尽方 解 : 探究新知 素养考点 1 分母有理化 总结： 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使 分母不含根号 . 例 4 计算 : ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） 探究新知 方法点拨 化成最简二次根式的 一般方法 ( 1 ) 将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行 开方 , 如 ; ( 2 ) 若被开方数中含有带分数,应先将 带分数化成假分数 ,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 ; ( 3 ) 若被开方数中含有小数,应先将 小数化成分数 后再进行化简,如 . 5. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． 解： 只有 ( 3 ) 是最简二次根式 ； 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） ( 1 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 5 ) 设长方形的面积为 S , 相邻两边长分别为 a , b . 已 知 ， 求 a 的值 . 解 : ∵ 知识点 4 二次根式的应用 探究新知 ∴ 6. 高空抛物现象被称为 “ 悬在城市上空的痛 ” ．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间 t 和高度 h 近似的满足公式 . 从100米高空抛物到落地所需时间 t 2 是从50米高空抛物到落地所需时间 t 1 的多少倍？ 解 : 由题意得 巩固练习 1. （2018•绵阳） 等式 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B ． C ． D． 巩固练习 连接中考 B 2. （2019•河池）下列式子中， 为最简二次根式的 是 （　　） A ． B． C． D ． B 1. 化简 的 结果是（　　） A． 9 B． 3 C． D ． B 2. 下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. C 课堂检测 基础巩固题 3. 能使等式 成立的 x 的取值范围是（　 ） A . x ≠2 B . x ≥0 C . x ＞2 D . x ≥2 C 4. 化简： 解： 课堂检测 （ 1 ） （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 基础巩固题 在 物理学中有公式 W = I 2 Rt ，其中 W 表示电功 ( 单位：焦耳 ) ， I 表示电流 ( 单位：安培 ) ， R 表示电阻 ( 单位：欧姆 ) ， t 表示时间 ( 单位：秒 ) ，如果已知 W 、 R 、 t ，求 I ，则有 . 若 W =2400 焦耳， R =100 欧姆， t =1 5 秒．试求电流 I ． 解： 当 W= 2400 ，R= 100 ，t= 1 5 时， 课堂检测 能力提升题 （安培） 自 习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是 “ 求二次根 式 中实数 a 的取值范围 ” ，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是 “ ”，而是 “ ” 刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正 a 和 a -3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？ 按 计算，则 a ≥0， a -3＞0或 a ≤0， a -3＜0 , 解得 a ＞3或 a ≤0 ； 课堂检测 拓广探索题 解： 刘敏说得不对，结果不一样 ．理由如下： 而 按 计算，则 a ≥0， a -3＞0 , 解得 a ＞3 ． 二次根式除法 法则 性质 拓展法则 相关概念 分母有理化 最简二次根式 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 16.3 二次根式的加减 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年 级 下册 二次根式的加减运算 第一课时 返回 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？ 导入新知 1. 理解二次根式可以 合并的条件 . 3. 能 熟 练地进行二次根式的 加减法运算 . 素养目标 2. 类比整式的合并同类项， 掌握二次根式的 加减运算法则 . a a a a a a a a a a = + 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则 . 观察下图并思考 . 由上图，易得 2 a +3 a =5 a . 当 a = 时，分别代入左右得 ; 当 a = 时，分别代入左右得 ; ...... 知识点 1 二次根式可以合并的条件 探究新知 你发现了什么？ 因为 ，由前面知两者可以 合并 . 当 a = , b = 时 ， 得 2 a +3 b = . a 2 a +3 b b = + b b a 前 面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并 . 继续观察下面的过程： 探究新知 这两个二次根式可以合并吗？ 你又有 什么 发现吗 ? 探究新知 归纳总结 将 二次根式化成最 简二次根式 ，如果 被开方数相同 ，则这样的二次根式可以合并 . 注意 ： 1. 判 断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断 . 2. 合 并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数 ( 式 ) 相加，根指数和被开方 数 ( 式 ) 不变 . 如： 1. 下列各式中，与 是 同类二次根式的是（ ） A . B. C. D. D 2. 下列二次根式，不能与 合并的是 ________ ( 填 序 号） . ② 巩固练习 ⑤ 例 1 若最 简二次根 式 与 可以合并，求 的值 . 解： 由题意 得 即 探究新知 素养考点 1 利用二次根 式可 以合并的条件求字母的值 提示： 可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同 ，根指 数都为 2 列关于字母的方 程（组）求 解即可 . 解得 1 （ 1 ） 与 最简二次根式 能 合并，则 m =_____. 1 巩固练习 （ 2 ）若两个最简二次根式 与 可 以合并,则 a =_____ ， b =_______ . 3. 完成下列各题： 1 现 有一块长 7.5dm 、宽 5dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两 个面积分 别是 8dm 2 和 18dm 2 的正方形木板？ 7.5dm 5dm 【 讨论 】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和 ? S =8dm 2 S =18dm 2 知识点 2 二次根式的加减 探究新知 【 讨论 】 2 . 所 列算式能直接进行加减运算吗 ? 如果不能 , 把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试 ( 说出每步运算的依据） . （化成最简二次根式） （逆用分配律） ∴ 在这块木板上可以截出两个分别是 8dm 2 和 18dm 2 的正方形木板． 解： 列式如下： 在 有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立 . 探究新知 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 依据： 二次根式的 性质 、 分配律 和 整式加减法则 . 基本思想： 把二次根式加减问题 转化 为整式加减问题． 探究新知 探究新知 归纳总结 二次根式的加减法法则 : 一般地，二次根式加减时，可以 先 将二次根式 化成最简二次根式 ， 再 将 被开方数相同的二次根式进行合并 . ( 1 ) 化 —— 将非最简二次根式的二次根式化简； 加减法的运算步骤： ( 2 ) 找 —— 找出被开方数相同的二次根式； ( 3 ) 并 —— 把被开方数相同的二次根式合并 . “ 一化简二判断三合并 ” 解： 例 2 计算 : 素养考点 1 二次根式的加减计算 （ 3 ） （ 4 ） （ 1 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 探究新知 4. 下列计算正确的是 （　　） A . B. C. D. C 5. 已知一个矩形的长为 , 宽为 ， 则其周长 为 ______. 巩固练习 例 3 计算 : 解： 探究新知 素养考点 2 二次根式的加 减混 合运算 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 计算时，有括号 ， 一 定要先 去括 号！ 6. 计算 ( 1 ) ； 解： 原式 解： 原式 （ 2 ） . 巩固练习 例 4 有 一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长 . 解 ： ① 当 腰长为 时 ， ∵ ∴ 此时能构成三角形，周长为 ② 当 腰长为 时 ， ∵ ∴ 此时能构成三角形，周长为 素养考点 3 二次根式的综合性题目 探究新知 7. 如图，两个圆的圆心相同， 它们的面积分别是 8cm 2 和 18cm 2 ，求圆环的宽度 d ( 两圆半径之差 ) . 巩固练习 解： 答： 圆环的宽度 d 为 cm . R-r 1. （ 2018• 曲靖） 下列二次根式中能与 合并的是（　　） A ． B． C． D． 巩固练习 连接中考 B 2. （ 2019 •兰州）计算： ＝（　　） A ． B ． C．3 D ． A D 基础巩固题 1. 与 能 合并的二次根 式是 ( ) A. B. C . D. 2. 下列计算正确的是 （　　） A . B. C. D. C 课堂检测 3 . 三角形的三边长分别 为 则这个三角形的周长为 __________. 4 . 计算 : （ 1 ） =___ （ 2 ） =___ （ 3 ） =___ （ 4 ） =_________ 基础巩固题 课堂检测 解 ： 5. 计算 : ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 基础巩固题 课堂检测 6. 如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求 x 的取值范围 . 解： 由题意得 3 a -8=17-2 a , ∴ a =5 ， ∴ ∴ 20-2 x ≥0 ， x -5 ＞ 0 ， ∴5 ＜ x ≤10. 基础巩固题 课堂检测 已 知 a , b , c 满足 . ( 1 ) 求 a , b , c 的值； ( 2 ) 以 a , b , c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出 其周长；若不能，请说明理由 . 解： ( 1 ) 由题意得 ； ( 2 ) 能 . 理由如下 ： 课堂检测 能力提升题 ∵ 即 a ＜ c ＜ b ， 又 ∵ ∴ a + c ＞ b ， ∴ 能够成三角形，周长为 已 知 a ， b 都是有理数，现定义新运算： a * b = ， 求 （2*3）－（27*32） 的值． 解： ∵ a * b = ， ∴ （2*3）－（27*32） = = = 拓广探索题 课堂检测 二次根式加减 法则 注意 运算顺序 运算原理 一般地，二次根 式加 减时，可以 先 将二次根式 化成最简二次根式 ， 再 将 被开方数相同的二次根式进行合并 . 运算律 仍然适用 与实数的运算 顺序一样 课堂小结 二次根式的混合运算 第二课时 返回 如何进行单项式与多项式相乘的运算？ 你能用字母表示这一结论吗？ 思路： 单×多 转 化 分配律 单×单 m ( a + b + c ) = ma+mb + mc 导入新知 【 讨论 】 若 把字母 a,b,c,m 都用二次根式代替 ( 每个同学任选一组 ) ，然后对比归纳，你们发现了什么？ 2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及 乘法公式 在二次根 式运算中仍然适用 . 1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的 混合运算 . 素养目标 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用 . 例 1 计算： 解： 探究新知 知识点 1 二次根式的混合运算 素养考点 1 考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 巩固练习 1. 计算：（ 1 ） （ 2 ） ( 1 ) 原式 解： ( 2 ) 原式 　　 例 2 　计算 ： 解： （ 1 ）原式 　　 【 思考 】 （ 1 ）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是： 多项式乘多项式法则 ； 　　第二步的依据是： 二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式 ； 　　第三步的依据是： 合并同类项 ． （ 1 ） 探究新知 素养考点 2 考查二次根式的多项式乘法运算能力 2. 计 算： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） 解： （ 1 ） （ 2 ） 回顾提问 1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些 ? 平方差公式 ： ( a+b )( a-b ) =a 2 -b 2 ; 完全平方公式： ( a+b ) 2 =a 2 + 2 ab+b 2 ; ( a-b ) 2 =a 2 - 2 ab+b 2 . 回顾提问 2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗 ? 探究新知 知识点 2 利用乘法公式计算二次根式 前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所 以 适用 . 例 3 计算： 解： 探究新知 素养考点 1 考查利用乘法公式计算二次根式的能力 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 拓展计算： 解： ( 1 ) 原式 ( 2 ) 原式 探究新知 （ 1 ） （ 2 ） 3. 计算 ： 巩固练习 （ 1 ） 解： （ 1 ） （ 2 ） （ 2 ） 例 3 已知 试 求 x 2 + 2 xy+y 2 的值 . 解： x 2 +2 xy + y 2 = （ x + y ) 2 把 代入上式得 原式 = 探究新知 有关代数式的二次根式运算 素养考点 2 解 : ∵ ， 巩固练习 ∴ 4. 已知 ， 求 x 3 y + xy 3 . x 3 y + xy 3 = xy ( x 2 + y 2 )= xy [( x + y ) 2 -2 xy ] ∴ 在 前面我们学 习二 次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如 : 【 思考 】 如 果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ 知识点 3 分母有理化 探究新知 根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？ 例 4 计算 : 解 : 探究新知 素养考点 1 分母有理 化的 应用 提示： 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号 . （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 5. 已知 , 求 . 解 : ∵ 巩固练习 巩固练习 连接中考 3 1. （2018•天津）计算 的结果 等于 ______ ． 2. （2019•常州）下列各数中 与 的积是有理 数 的 是（　　） A ． B．2 C ． D ． D 1. 下列计算中正确的是（ ） B 2. 计算： 5 3. 设 则 a b ( 填“ >” “ < ”或 “ = ”） . = 基础巩固题 课堂检测 4. 计算 ： 解 ： （ 1 ） （ 2 ） 基础巩固题 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） （ 4 ） （ 3 ） 解： 原式 = =9-3 =6 解： 原式 = （ 5 ） 基础巩固题 课堂检测 解： 原式 解： ( 1 ) 原式 ( 2 ) 原式 5. 计算： （ 1 ） （ 2 ） 基础巩固题 课堂检测 甲 、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底 宽 m ， 下底 宽 m ，高 m 的梯形，这段路基长 500 m ，那么这段路基的土石方 ( 即路基的体积 , 其中路基的体积 = 路基横断面面积×路基的长度 ) 为多少立方米呢？ 能力提升题 课堂检测 解： 路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为： 答： 这段路基的土石方为 能力提升题 课堂检测 1. 已 知 的整数部分是 a , 小数部分是 b , 求 a 2 -b 2 的值 . 解： 拓广探索题 课堂检测 2. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的 运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： 拓广探索题 课堂检测 解： ( 1 )  ( 1 ) 请用两种不同的方法化简： ( 2 ) 化简： 课堂检测 拓广探索题 ( 2 )  二次根式混合运算 乘法公式 化简 求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2 ( x + a )( x + b )= x 2 +( a + b ) x + ab 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 七彩课堂 伴你成长 QICAIKETANG