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- 2021-02-26 发布
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课下层级训练(三十一) 不等式关系与一元二次不等式
[A级 基础强化训练]
1．(2019·广东汕头联考)已知集合A＝，B＝{0,1,2,3}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{1} D．{1,2,3}
A [∵A＝＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1,2}．]
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
D [法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]
3．若m＝＋，n＝＋，则下列结论正确的是( )
A．mn2，∴m>n.]
4．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C [关于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．]
5．(2019·江西九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
A [不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0的解集是__________.
[原不等式可化为(x－a)<0，由0a>ab，则实数b的取值范围是__________.
(－∞，－1) [∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；
当a<0时，b2<10，即a2>16. ∴a>4或a<－4.]
9．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
则实数a的取值范围为.
[B级 能力提升训练]
10．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C [设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．]
11．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
B [原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10，|a|≤1恒成立，则x的取值范围是__________.
(－∞，2)∪(4，＋∞) [将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.]
14．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解 (1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有解得00，∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，∴a＝.
∴x2－x－2－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，－0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
解 (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，
故解得
(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋－2，
f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化简得1＋2－2·≥k，
令t＝，则t∈.
即k≤t2－2t＋1，记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，
故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1]．
