2012年荆门中考数学试卷 7页

荆门市二O一二年初中毕业生学业及升学考试试卷 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．‎ ‎3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．‎ ‎4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 一、选择题(本大题12个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分)‎ ‎1．下列实数中，无理数是( )‎ A．－ B．π C． D．|－2|‎ ‎2．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( )‎ l1‎ ‎1‎ 第3题图 l2‎ ‎2‎ A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16‎ ‎3．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( )‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎4．若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( )‎ A．3 B．9 C．12 D．27‎ ‎5．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是( )‎ A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是5 D．极差是7‎ ‎6．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )‎ 第8题图 A D C B y x O A C B ‎ ‎A． B． C． D．‎ 第9题图 A D E F P Q C B ‎8．如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－ 的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为( )‎ A．2 B．2 C． D．3‎ 第10题图 A D E F C B ‎10．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )‎ A．8 B． 4 C．8 D．6‎ ‎11．已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为( )‎ A．y= B．y=－ C．y=或y=－ D．y=或y=－‎ ‎12．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( )‎ A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个 图① 图② 图③‎ 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)‎ ‎13．计算－(－2)－2－(－2)0＝__▲__．‎ ‎14．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P(此处原题仍用字母O，与表示坐标原点的字母重复——录入者注)分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝__▲__．‎ 第14题图 A D E F C B y x O P ‎ ‎10cm 第15题图 ‎12cm ‎图(1) 图(2)‎ 第17题图 A D E P Q C B M N H y t O ‎5‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎15．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__▲__cm2．(结果可保留根号)‎ ‎16．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程＋＝1的解为__▲__．‎ ‎17．如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：AD＝BE＝5；cos∠ABE＝；当0＜t≤5时，y＝t2；当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是__▲__(填序号)．‎ 三、解答题(本大题共7个小题，共69分)‎ ‎18．(本题满分8分)先化简，后求值：‎ ‎，其中a＝＋1．‎ ‎19．(本题满分9分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC)，得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．‎ ‎(1)请根据题意用实线补全图形；‎ ‎(2)求证：△AFB≌△AGE．‎ 第19题图 A C B ‎ ‎α A D E F G C B H ‎20．(本题满分10分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．‎ 类型 A D C B 人数 A D C B ‎0‎ ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ ‎240‎ ‎300‎ ‎40%‎ ‎10%‎ 请根据以上信息回答：‎ ‎(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？‎ ‎(2)将两幅不完整的图补充完整；‎ ‎(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；‎ ‎(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．‎ ‎21．(本题满分10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)‎ 第21题图 A C O D B ‎22．(本题满分10分)荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．‎ ‎(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式；‎ ‎(2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？‎ 进货量(千克)‎ ‎20‎ 第22题图 ‎40‎ ‎24‎ ‎26‎ 批发单价(元)‎ ‎23．(本题满分10)已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．‎ ‎24．(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ 图甲 A E D C B y x O 图乙(备用图)‎ A E D C B y x O 荆门市二O一二年初中毕业生学业及升学考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题(每选对一题得3分，共36分)‎ ‎1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C ‎ ‎11．C 12．B 二、填空题(每填对一题得3分，共15分)‎ ‎13．－1 14． 15．75＋360 16．x＝3 17．①③④‎ ‎18．解：原式＝＝．…………………………………………………………5分 当a＝＋1时，原式＝＝．………………………………………………8分 ‎19．解：(1)画图，如图1；…………………………………………………………………4分 α 图1‎ A D E F G C B H ‎(2)由题意得：△ABC≌△AED．……………………………………………………………5分 ‎∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．…………………………………………………………………6分 在△AFB和△AGE中，‎ ‎∴△AFB≌△AGE(ASA)．……………………………………………………………………9分 ‎20．解：(1)60÷10%=600(人)．‎ 答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 ‎(2)如图2；………………………………………………………………………………………5分 类型 A D C B 人数 A D C B ‎0‎ ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ ‎240‎ ‎300‎ ‎40%‎ ‎10%‎ ‎ 图2‎ ‎20%‎ ‎30%‎ ‎(3)8000×40%=3200(人)．‎ 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．………………………………7分 ‎(4)如图3；‎ 开始 A B C D B C D A C D A B D A B C 图3‎ ‎(列表方法略，参照给分)．……………………………………………………………………8分 P(C粽)＝＝．‎ 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．……………………………………………10分 ‎21．解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．‎ ‎∵OA＝OB＝5m，AB＝8m，‎ ‎∴AF＝BF＝AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF．………………………………………………3分 图4‎ A D E F O M N C B 在Rt△AOF中，sin∠AOF＝＝0.8＝sin53°．‎ ‎∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．……………………………………………………………5分 ‎∵OF＝＝3(m)，由题意得：MN＝1m，‎ ‎∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．………………………………………………………………6分 ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，‎ ‎∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE．‎ 在Rt△ADE中，tan56°＝＝，∴DE＝2m，DC＝12m．……………………………7分 ‎∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝(8＋12)×3－(π×52－×8×3)＝20(m2)．‎ 答：U型槽的横截面积约为20m2．…………………………………………………………10分 ‎22．解：(1)y＝……………………………………………………………4分 ‎(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．‎ 由题意得：‎ 解得x≥50．……………………………………………………………………………………6分 由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600．……………………………………………………8分 ‎∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大．‎ ‎∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．‎ 答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．……………………………………………………………………………………………10分 ‎23．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．……1分 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，‎ 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．‎ 图5‎ y o x ‎1‎ ‎1‎ ‎△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．……………………………2分 综上所述，k的取值范围是k≤2．……………………………………………………………3分 ‎(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1．‎ 由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1．(*)………………………………………………………4分 将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：‎ ‎2k(x1＋x2)＝4x1x2．……………………………………………………………………………5分 又∵x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴2k·＝4·．……………………………………………………………………6分 解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)．‎ ‎∴所求k值为－1．……………………………………………………………………………7分 ‎②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－)2＋．‎ 且－1≤x≤1．…………………………………………………………………………………8分 由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝时，y最大＝．…………………………9分 ‎∴y的最大值为，最小值为－3．…………………………………………………………10分 ‎24．(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．‎ 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1．‎ ‎∴y＝－x2＋2x＋3．‎ 则点B(1，4)．…………………………………………………………………………………2分 ‎(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．‎ 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，‎ ‎ 图6‎ A E D C B y x O P3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P2‎ M ‎∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．‎ 在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，‎ ‎∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．‎ ‎∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径．………………………………………………………………3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，‎ ‎∴∠BAE＝∠CBE．‎ 在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．‎ ‎∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线．………………………………………………………………5分 ‎(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．………………………………………………………8分 ‎(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．‎ 将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得 ‎∴y＝－2x＋6．‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F(，3)．…………9分 情况一：如图7，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．‎ 则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK＝2t．‎ ‎∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t．…………11分 图7‎ A E D C B y x O F M L H G K N D 图8‎ A E D C B y x O F P Q V I R 情况二：如图8，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ＝2(3－t)．‎ ‎∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋．‎ 综上所述：s＝……………………………………………………12分