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- 2024-02-17 发布
邢台二中高二年级第一学期第三次月考
数学（理）试卷
出题：赵新亮 审核：李林英
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题
1．两条平行直线和之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
Ａ. 3x-y+8=0 B. 3x+y+4=0 C . 3x-y+6=0 D. 3x+y+2=0
4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1
5．过的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．4+ B．4+
C．6+ D．6+
7．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为 ( )
A、 B、 C、 D、
10．点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为 .
14．椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，则的值为__________．
15．点若直线始终平分圆的周长，则 的最大值是________.
16．如图，在中，，、边上的高分别为BD、AE，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则的值为 .
三、解答题
17．已知圆内有一点，过点作直线交圆于，两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长．
18．如图，在四边形中,, 四边形绕着直线旋转一周.
（1）求所成的封闭几何体的表面积；
（2）求所成的封闭几何体的体积.
19．点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，
满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
21．已知抛物线C：的焦点F（1,0）， O为坐标原点，A、B是抛物线C上异于O的两点。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若,求证直线AB过定点。
22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积的最小值．
理数参考答案
1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．D 9．D 10．B 11．C 12．C
13．. 14． 15． 16．
17．（1）；（2）．
试题解析：（1）已知圆的圆心为，∵直线过点，，∴，直线的方程为，即；（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又∵圆的半径为，∴弦的长为．
18．
试题解析：（1）由题意得，旋转后图象如图
.
（2）.
19．
试题解析：（1）∵点在线段上，满足，∴点是线段的中点，
设，则，
∵点在圆上运动，则，即，
∴点的轨迹方程为．
（2）当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点
，这种情况不满足题意．
设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理可得，
由的中点为，可得，解得，
即直线的方程为，∴直线的方程为．
【一题多解】对于本题的第二问考察的是中点弦问题，而点差法是处理中点弦比较好的方法，方法二：当直线轴，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．设，
两点在椭圆上，满足，
由（1）-（2）可得，则，
由的中点为，可得，代入上式，
即直线的方程为，即，
经检验直线与椭圆相交，∴直线的方程为.
20．试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
21．（1）试题解析：（1）依题意知，
（2），
由，则
，
22．
试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．
∴点的轨迹的方程为．
（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，得．
∴，．
．由于直线的斜率为，用代换上式中的。可得．
∵，∴四边形的面积．
由于，∴，当且仅当，即时取得等号．
易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积．
综上，四边形面积的最小值为．