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- 2023-12-13 发布
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2020---2021学年度上学期沈阳市郊联体期中考试题
高三数学答案
一、选择题：
B A B C D C D A
二、多项选择题：
ACD ABD BCD CD
三、填空题：
13、 14、 15、-0.75 16、km
四、解答题：
17、（本题满分10分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，……………3分
∵0＜c＜π
∴C=；……………5分
（2）因为△ABC的面积S＝＝＝，
所以ab＝6，…………7分
由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝7，
所以a+b＝5…………9分
△ABC的周长a+b+c＝．…………10分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，
∴当n≥2且n∈N*时bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n．…………2分
又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n．…………3分
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∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，
∴等比数列{an}的公比为2，
∴．…………6分
（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50，
∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9分
＝＝＝650﹣62＝588．
…………12分
19、（本题满分12分）
解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，…………1分
所以f（x）＝sin．
令sin，故或，…………3分
整理得或．…………4分
故解集为{x|或，k∈Z}．…………5分
（2）由于ω＝1，
所以f（x）＝sinx．
所以g（x）＝
＝＝﹣
＝﹣sin（2x+）．…………8分
由于x∈[0，]，
所以．
，
故，…………10分
故．
所以函数g（x）的值域为[﹣．…………12分
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20．（本小题满分12分）
解：（1）证明：将两边同时除以2n+1得，，……3分
即bn+1﹣bn＝3，
又a1＝2，故数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列…………4分
得bn＝3n﹣2，即．…………6分
（2）Sn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①
则2Sn＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7分
①②相减得﹣Sn＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8分
＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10分
化简得．…………12分
声明：21．（本小题满分12分）
解：（1）＝﹣．
∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，…………2分
∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．
即2x﹣y﹣1＝0为所求．…………4分
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得＝﹣．…………5分
令f′（x）＝0，可得，
当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，…………7分
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注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0
函数f（x）的图象如下：
∵a≥1，∴，则≥﹣e，…………11分
∴f（x）≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．…………12分
22、（本题满分12分）
解：（1）由题意得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∵f′（x）＝2xlnx+x﹣ax2﹣3x＝x（2lnx﹣ax﹣2），
∴2lnx﹣2﹣ax≤0在（0，+∞）恒成立，…………1分
即a≥在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝，则g′（x）＝，…………2分
∴当x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，
当x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，
故当x＝e2时，函数g（x）有极大值，也是最大值，…………3分
故a≥g（e2）＝，
故实数a的取值范围是[，+∞）；…………4分
（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2lnx﹣ax﹣2），
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则，故2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，
2ln＝a（x1﹣x2），…………6分
故2ln（x1x2）＝（x1+x2）+4，…………7分
∵x1≠x2，∴令x1＞x2，＝t，…………8分
则ln（x1x2）＝lnt+2，
令h（t）＝lnt+2，（t＞1），
要证h（t）＞4在（1，+∞）上恒成立，
即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0，…………9分
令F（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2，则F′（t）＝lnt+﹣1，
则F″（t）＝﹣＝＞0，
故F′（t）在（1，+∞）递增，…………11分
∴F′（t）＞F′（1）＝0，F（t）在（1，+∞）递增，
从而F（t）＞F（1）＝0，
即原不等式成立．…………12分
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