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- 2023-12-13 发布
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【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】
专题 选讲部分
1．【2018衡水联考】在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积．
【答案】（1）， ；（2）1
试题解析：
（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为．
（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），
代入曲线： 中，化简，得，
设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以．
2．【2018河南中原名校联考】已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（ 为参数）.
（1）将两曲线化成普通坐标方程；
（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.
【答案】(1)曲线： ，曲线： ；(2) ， .
试题解析：解：（1）由题知，曲线： 的直角坐标方程为： ①，
圆心为，半径为1；
曲线： （为参数）的直角坐标方程为②，
（2）由①-②得， ，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.
圆心到直线的距离，
故两曲线的公共弦长为.
【点睛】1、求两个圆的公共弦所在的直线方程时，两个圆的方程相减化简可得；2、求圆的弦长时，注意利用弦心距、弦长一半、半径的勾股数关系。
3．【2018华大新高考质检】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点,轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）若，求直线交曲线所得的弦长；
（2）若上的点到的距离的最小值为1，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普通方程知曲线为圆，进而利用直线与圆相交求弦长即可；
（2）圆上的点到直线的最小即为圆心到直线的距离减去半径即可.
试题解析：
（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
设圆心到直线的距离为,则.
从而直线交曲线所得的弦长为.
（2）直线的普通方程为.
则圆心到直线的距离.
∴由题意知，∴.
4．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）;（2）
试题解析：
解：（1）由可得.
因为，
所以，即.
（2）由（1）知圆的圆心为，圆心到直线的距离，
所以弦长为.
5．【2018四川绵阳一模】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设，，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
试题解析：
（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0．
∴ C的极坐标方程为．
（Ⅱ）把代入，得，
∴ ．
把代入，得，
∴ ．∴ S△AOB
．
6．【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.
【答案】（1） , ；（2）.
试题解析：（1）由曲线参数方程可得
因为,所以的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程为，即，
故曲线的直角坐标方程为，即.
（2）设
则到曲线的圆心的距离
∵，∴当时， 有最大值.
∴的最大值为.
7．【2018福建泉州一中联考】在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.
【答案】（1）的参数方程为 (为参数)， 的直角坐标方程为；（2）．
(Ⅱ)曲线是以 为圆心， 为半径的圆.设出点的的坐标，结合题意得到三角函数式： .结合二次型复合函数的性质可得.
试题解析：
（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），
的直角坐标方程为，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线是以 为圆心， 为半径的圆.
设，
则
.
当时， 取得最大值.
又因为，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立.
所以.
8．【2018南宁摸底联考】已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为.
（l）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值.
【答案】(1)答案见解析；(2)3.
试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），普通方程圆：
极坐标方程为，
∵直线的直角坐标方程为，
故直线的极坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为：，
直线的极坐标方程为，
将代入的极坐标方程得，
将代入的极坐标方程得，
∴.
9．【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.
（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.
【答案】（1）， （2）16
试题解析：（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.
曲线的极坐标方程为，展开为，化为..
（2）设，且中点为，
联立，
解得，
∴.
∴.
线段的中垂线的参数方程为
（为参数），
代入，可得，
∴，
∴.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
10．【2018广西南宁八中联考】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线与曲线交于两点，求的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）由题意知
（Ⅱ）曲线是过点的直线，
由知点在曲线内，
所以当直线过圆心时，的最大为4；
当为过点且与垂直时，最小.
，
最小值为 .
11．【2018贵州黔东南州联考】以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单
位长度建立极坐标系．已知点的参数方程为（为参数），点在曲线上．
（1）求在平面直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的普通方程；
（2）求的最大值．
【答案】（1），曲线的普通方程为；（2）.
（2）如图：
由题意可得，点的线段上，点在圆上，
∵圆的圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切，且切点为，
易知线段上存在一点，
则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.
即当点坐标为时， 取最大值.
∵，
∴的最大值为.
12．【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】以直角坐标系的原点为极点O，轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.
(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;
(2).试判断直线l与圆C有位置关系.
【答案】（1），；（2）直线与圆相离.
试题解析：（1）直线的参数方程，即（为参数）
由题知点的直角坐标为，圆半径为，
∴圆方程为将代入
得圆极坐标方程5分
（2）由题意得，直线的普通方程为，
圆心到的距离为，
∴直线与圆相离. 10分
考点：直线的参数方程、极坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.
13．【2018河南漯河中学二模】已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；
(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】(1)2(2)16
试题解析：
(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴
∴直线的参数方程为（为参数）
将代入得：
设两点所对应的参数为，则∴
(2) 设为内接矩形在第一象限的顶点 ， ，
则矩形的周长
∴当即时周长最大，最大值为16．
14．【2018湖南五市十校联考】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
试题解析：
（1）原不等式等价于或或，
解得或或.
∴不等式的解集为或.
（2）不等式恒成立等价于，
即，
∵，
∴，则，解得，
∴实数的取值范围是.
15．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：
（1）依题意， 故不等式的解集为
（2）由（1）可得，当时， 取最小值， 对于恒成立，
∴，即，∴，
解之得，∴实数的取值范围是
点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案。
16．【2018河南中原名校质检】已知关于的不等式.
（1）当时，解不等式；
（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
情况的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：构造函数与，原不等式的解集为空集， 的最小值比大于或等于，作出与的图象. 只须的图象在的图象的上方，或与重合， 。解法二：构造函数，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得， ，求每一段函数的值域，可得函数的最小值=1， 小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式可得，当且仅当时，上式取等号，∴.
试题解析：解：（1）原不等式变为.
当时，原不等式化为，解得，∴
当时，原不等式化为，∴ .
当时，原不等式化为，解得，∴ .
综上，原不等式解集为.
（2）解法一：作出与的图象.
若使解集为空集，
只须的图象在的图象的上方，或与重合，
∴，所以的范围为.
解法二： ，
当时， ，
当时， ，
当时， ，
综上，原问题等价于，∴ .
解法三：∵，当且仅当时，上式取等号，∴.
17．【2018辽宁鞍山一中二模】已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，即可求解不等式的解集；
（2）求出的最小值，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.
试题解析：
（1）原不等式等价于，
或或
故不等式的解集是或；
（2）∵，
∴，∴，∴.
18．【2018陕西西安长安区联考】 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）3（2）
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）＜4m成立，即|x﹣3|+|x+2|＜4m成立，
故（|x﹣3|+|x+2|）min＜4m，
而|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣3）+（﹣x﹣2）|=5，
∴4m＞5，解得：m＞，
即m的范围为（，+∞）．
19．【2018华大新高考联盟质检】已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.
当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.
当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.
综上知不等式的解集为 .
（2）方法一：∵，
∴ 或，即或.
∴的取值范围是.
方法二 若，不满足题设条件.
若，此时的最小值为.
若，此时的最小值为.
所以的充要条件是，
从而的取值范围是.
20．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）;（2）
试题解析：
解：（1）不等式可化为，
即 ，
所以不等式的解集为.
（2）等价于恒成立.
因为，
所以实数的取值范围为.
21．【2018四川绵阳质检】已知函数.
（1）解不等式；
（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：
（1）分区间讨论去掉绝对值号，即可求解；
（2）先求出最小值，再根据，构造利用均值不等式求解.
试题解析：
（Ⅰ）当x≤时，f(x)=-2-4x，
由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，
当时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，当x≥时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，
综合得x≥1所以f(x)≥6的解集是．
（Ⅱ）=|2x-1|+|2x+3|≥，
即的最小值m=4．
∵ ≤，由可得≤，
解得≥，
∴ 的最小值为．
22．【2018南宁摸底联考】已知函数，.
（l）求的解集；
（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
试题解析：（1）∵函数，故，等价于.
等价于①，
或②，
或③.
解①求得，解②求得，解③求得.
综上可得，不等式的解集为.
（2）若对任意的，，都有，可得.
∵函数 ，∴.
∵ ，故.
∴，∴，或，求得或.
故要求的的范围为或.
【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。
对于一次绝对值函数，我们常采用绝对值不等式求函数的最大（小）值。
23．【2018广西柳州摸底联考】已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）可化为，
∴，
∴.
∴不等式的解集为.
（2）∵在上单调递増，又， ，
∴只需要，
化简为，
∴，解得.
