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- 2023-11-20 发布
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学 （理工类）
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么
P（AB）=P（A）+P（B）. P(AB)=P(A)P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh. ·棱锥的体积公式V=Sh.
其中S表示棱柱的底面积， 其中S表示棱锥的底面积.
H表示棱柱的高 h表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）i是虚数单位，复数=
（A）1+i （B）5+5i （C）-5-5i （D）-1-i
(2)函数的零点所在的一个区间是
（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）
（3）命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是
（A）若是偶函数，则是偶函数
（B）若是奇数，则不是奇函数
（C）若是奇函数，则是奇函数
（D）若是奇函数，则不是奇函数
（4）阅读右边的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框内可填写
（A）i<3? ( B)i<4?
(C) i<5? (D)i<6?
（5）. 已知双曲线的一条渐近线方程式是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知{a}是首项为1的等比数列，是的前n项和，且．则数列的前5项和为[来源:
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
（7）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（8）设函数f（x）= 若，则实数的取值范围是
（A） （Ｂ） [来源:学科网]
（Ｃ） （Ｄ）
（9）设集合A＝，B＝．若，则实数必满足
（A） （B）
（C） （D）
（10）如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 ．
(12 ) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
（13）已知圆C的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆C与直线相切．则圆C的方程为 ．
（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若，，则的值为 ．
（15）如图，在中，，，则= ．
（16）设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知函数=2．
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若，，求的值．
(18)(本小题满分12分)[来源:Zxxk.Com]
某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．
(19)(本小题满分12分)
如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，．
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅱ)证明⊥平面；
(Ⅲ) 求二面角的正弦值．
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4．求的值．
（21）（本小题满分14分）
已知函数．
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)；
(Ⅲ)如果且证明．
（22）（本小题满分14分）
在数列中，，且说对任意，成等差数列，其公差为．
(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列（）；
(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为．
（i）设1．证明是等差数列；
(ii)若，证明．
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
三、解答题
（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
（Ⅰ）解：由，得
.
所以函数的最小正周期为.
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知.
又因为，所以.
由，得.
（18）本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
（Ⅰ）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
.
（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则
=
=.
（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为.
；
=；
；
（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A为坐标原点.设,依题意得,
,,.
（Ⅰ）解：易得,.
于是.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：已知,,.
于是·=0，·=0.因此，,.又.
所以平面.
(Ⅲ)解：设平面的法向量，则,即.
方法二：（Ⅰ）解：设AB=1，可得AD=2，AA1=4，CF=1，CE=.
连接B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M.易知A1D∥B1C.由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角.易知BM=CM=,所以[来源:Z_xx_k.Com]
.
所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：连接AC，设AC与DE交点N.
因为，所以.
从而.又由于,所以.
故AC⊥DE.又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D.因为，所以AF⊥平面A1ED.
(Ⅲ)解：连接A1N，FN.由（Ⅱ）可知DE⊥平面ACF.又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N，故为二面角A1-ED-F的平面角.
易知，所以.又，所以.在中.在中，.
连接A1C1，A1F. 在.
在中，.所以.
所以二面角A1-DE-F正弦值为.
由得
设线段AB的中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
（21）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分[来源:学|科|网]
（Ⅰ）解：
令,解得x=1
当x变化时，，的变化情况如下表
X
()
1
()
+
0
-
极大值
所以在()内是增函数，在()内是减函数.
函数在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
（Ⅲ)证明：（1）
若，由（Ⅰ）及，得与矛盾
（2）若，由（Ⅰ）及，得与矛盾
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2.
(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（Ⅰ）证明：由题设，可得
所以
由=0，得从而
于是.
所以成等比数列.
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及
成等比数列，得
当≠1时，可知≠1，k
从而，即，
所以是等差数列，公差为1.[来源:Zxxk.Com]
（ii）证明：由，，可得，从而=1.由（i）有
，得
+
所以，从而
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）
所以从而···
综合（1）和（2）可知，对任意,,有
（ii）证明：因为所以.
所以，从而，.于是，由（i）可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得=，故.
从而.
所以，由，可得
.
于是，由（Ⅰ）可知
以下同证法一.