2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章4-3三角函数的图像与性质 23页

第3讲　三角函数的图像与性质 最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ 知 识 梳 理 ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 续表 递增 区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减 区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称 中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　)‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z)．‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．‎ ‎(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析　y＝sin＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数；y＝sin 2x＋cos 2x＝sin是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数．‎ 答案　B ‎3．(2017·郑州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.‎ 答案　C ‎4．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．0‎ 解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.‎ 答案　B ‎5．(教材改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________．‎ 解析　因为y＝tan x的单调递增区间为 (k∈Z)，‎ 所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，‎ 得＋＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以y＝－tan的单调递减区间为 (k∈Z)．‎ 答案　(k∈Z)‎ 考点一　三角函数的定义域及简单的三角不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________．‎ ‎(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________．‎ 解析　(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，‎ 即x≠＋(k∈Z)，故选D.‎ ‎(2)‎ 由＋2cos x≥0，‎ 得cos x≥－，‎ 由余弦函数的图像，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎(3)由题意，得 由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．‎ 解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得f(x)的增区间是(k∈Z)．‎ 因为f(x)在上是增函数，‎ 所以⊆.‎ 所以－≥－且≤，所以ω∈.‎ 法二　因为x∈，ω>0.‎ 所以ωx∈，‎ 又f(x)在区间上是增函数，‎ 所以⊆，‎ 则又ω>0，‎ 得0<ω≤.‎ 法三　因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.‎ 答案　(1)(k∈Z)　(2) 规律方法　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．‎ 命题角度三　三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3－3】 (1)(2017·陕西适应性测试)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图像关于直线x＝对称，则φ的最大值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ 解析　(1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.‎ ‎(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图像的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N＋)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.‎ 答案　(1)B　(2)B 规律方法　(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．‎ ‎(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．‎ ‎【训练3】 (1)(2017·南昌二检)函数f(x)＝cos的图像关于(　　)‎ A．原点对称 B．y轴对称 C．直线x＝对称 D．直线x＝－对称 ‎(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)因为f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)＝－sin 2x是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称．故选A.‎ ‎(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，‎ 则(k∈Z)，‎ 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ 答案　(1)A　(2)D ‎[思想方法]‎ ‎1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．‎ ‎2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎3．数形结合是本讲的重要数学思想．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω ‎＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ 解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；‎ ‎②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；‎ ‎③y＝cos的最小正周期T＝＝π；‎ ‎④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.‎ 答案　A ‎2．(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析　当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.‎ 答案　B ‎3．(2016·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)‎ A．3，－1 B．3，－2‎ C．2，－1 D．2，－2‎ 解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ‎＝－sin2x－2sin x＋1，‎ 令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，‎ 所以ymax＝2，ymin＝－2.‎ 答案　D ‎4．(2016·铜川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上是增函数 解析　f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图像可知，函数f(x)的图像不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图像易知，函数f(x)在上是增函数，D正确．‎ 答案　C ‎5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图像的对称中心为，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6．(2017·郑州调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.‎ 解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.‎ 答案　 ‎7．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．‎ 解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，‎ 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，‎ 又x∈，∴单调递增区间为.‎ 答案　 ‎8．(2016·承德模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.‎ 解析　法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.‎ 法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.‎ 由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝，解得ω＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 由正弦函数y＝sin x在上的图像知，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.‎ ‎10．(2017·昆明调研)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．‎ 解　(1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos ‎＝sin －cos ＝sin，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝8.‎ ‎(2)法一　在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，‎ 它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．‎ 由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，‎ 从而g(x)＝f(2－x)＝sin ‎＝sin＝cos.‎ 当0≤x≤时，≤＋≤，‎ 因此y＝g(x)在区间上的最大值为 g(x)max＝cos ＝.‎ 法二　区间关于x＝1的对称区间为，‎ 且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，‎ 故y＝g(x)在上的最大值为 y＝f(x)在上的最大值．‎ 由(1)知f(x)＝sin，‎ 当≤x≤2时，－≤－≤.‎ 因此y＝g(x)在上的最大值为 g(x)max＝sin ＝.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.‎ 由已知条件知－≤－，∴ω≥.‎ 答案　B ‎12．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(2)0，∴φmin＝，‎ 故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝Asin ，‎ f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，‎ f(－2)＝Asin＝Asin ‎＝Asin＝Asin.‎ 又∵－＜－4＜4－＜＜.‎ 又f(x)在上单调递增，‎ ‎∴f(2)0时，∴a＝3－3，b＝5.‎ ‎(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.‎ 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎