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  • 2021-06-26 发布

2020高中数学集合的含义

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第2课时 集合的表示 学习目标:1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语言的意义和作用.(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.‎ ‎2.描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.一般形式为A={x∈I|p},其中x叫做代表元素,I是代表元素x的取值范围,p是各元素的共同特征.‎ 思考:(1)不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?‎ ‎(2)如何用描述法表示不等式x-2<3的解集?‎ ‎[提示] (1)元素的共同特征为x∈R,且x<5.‎ ‎(2){x|x<5,x∈R}.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.(  )‎ ‎(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(  )‎ ‎(3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√‎ ‎2.方程x2=4的解集用列举法表示为(  )‎ A.{(-2,2)}       B.{-2,2}‎ C.{-2} D.{2}‎ B [由x2=4得x=±2,故用列举法可表示为{-2,2}.]‎ ‎3.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是(  ) ‎ ‎【导学号:37102022】‎ A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}‎ C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}‎ C [该集合是点集,故可表示为{(x,y)|y=3x+1},选C.]‎ ‎4.不等式4x-5<7的解集为________.‎ ‎{x|4x-5<7} [用描述法可表示为{x|4x-5<7}.]‎ ‎ [合 作 探 究·攻 重 难]‎ 用列举法表示集合 ‎ 用列举法表示下列给定的集合:‎ ‎(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.‎ ‎(2)小于8的质数组成的集合B.‎ - 5 -‎ ‎(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C.‎ ‎(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.‎ ‎[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.‎ ‎(2)小于8的质数有2,3,5,7,‎ 所以B={2,3,5,7}.‎ ‎(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,.所以C=.‎ ‎(4)由得 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),‎ 所以D={(1,4)}.‎ ‎[规律方法] 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 提醒:二元方程组的解集,函数的图象点形成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.用列举法表示下列集合:‎ ‎(1)方程组的解集;‎ ‎(2)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}. ‎ ‎【导学号:37102023】‎ ‎[解] (1)由解得 故该方程组的解集为{(1,1)}.‎ ‎(2)因为x∈N,y∈N,x+y=3,‎ 所以或或或 故A={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.‎ 用描述法表示集合 ‎ 用描述法表示下列集合:‎ ‎(1)比1大又比10小的实数的集合;‎ ‎(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;‎ ‎(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合.‎ ‎[解] (1){x∈R|10}.‎ ‎(3){x|x=3n+1,n∈N}.‎ ‎[规律方法] ‎ - 5 -‎ 描述法表示集合的2个步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎2.用描述法表示下列集合:‎ 图111‎ ‎(1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合;‎ ‎(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;‎ ‎(3)如图111中阴影部分的点(含边界)的集合;‎ ‎(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. ‎ ‎【导学号:37102024】‎ ‎[解] (1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}.‎ ‎(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.‎ ‎(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x,y)|-1≤x≤,-≤y≤1,xy≥0}.‎ ‎(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.‎ 集合表示方法的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.下面三个集合:‎ ‎①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.‎ ‎(1)它们各自的含义是什么?‎ ‎(2)它们是不是相同的集合?‎ 提示:(1)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满足条件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{x|y=x2+1}=R;‎ 集合②的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以实质上{y|y=x2+1}={y|y≥1};‎ 集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.‎ - 5 -‎ ‎(2)由(1)中三个集合各自的含义知,它们是不同的集合.‎ ‎2.设集合A={x|ax2+x+1=0}.‎ ‎(1)构成集合A的元素是什么?‎ ‎(2)方程ax2+x+1=0是关于x的一元二次方程吗,为什么?‎ 提示:(1)构成集合A的元素是方程ax2+x+1=0的根.‎ ‎(2)不一定.当a=0时,方程是关于x的一元一次方程;当a≠0时,方程是关于x的一元二次方程.‎ ‎ 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.‎ 思路探究: ‎[解] (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;‎ ‎(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.‎ 综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.‎ 母题探究:1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的值组成的集合.‎ ‎[解] 由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.‎ 故Δ=64-64k>0,即k<1.‎ 所以实数k组成的集合为{k|k<1}.‎ ‎2.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.‎ ‎[解] 由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.‎ ‎①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,合题意;‎ ‎②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≤0,即k≥1.‎ 综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.‎ ‎[规律方法] 1.若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3中集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.‎ ‎2.在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.不等式x-3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为(  ) ‎ ‎【导学号:37102025】‎ A.{0,1,2,3,4}      B.{1,2,3,4}‎ C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}‎ - 5 -‎ B [由x-3<2可知x<5,又x∈N*,故x可以为1,2,3,4,故选B.]‎ ‎2.若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ B [集合A中有两个元素:(1,2),(3,4).]‎ ‎3.如果A={x|x>-1},那么(  ) ‎ ‎【导学号:37102026】‎ A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A D [∵0>-1,故0∈A,选D.]‎ ‎4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________.‎ ‎{-1,4} [∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,‎ ‎∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.]‎ ‎5.用适当的方法表示下列集合:‎ ‎(1)方程组的解集;‎ ‎(2)所有的正方形;‎ ‎(3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合. ‎ ‎【导学号:37102027】‎ ‎[解] (1)解方程组得 故解集为{(4,-2)}.‎ ‎(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形},简写为{正方形}.‎ ‎(3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.‎ - 5 -‎