【物理】2020届一轮复习人教版 机械能守恒定律及其应用 学案 16页

第3讲　机械能守恒定律及其应用 ‎[基础知识·填一填]‎ ‎[知识点1]　重力做功与重力势能　‎ ‎1．重力做功的特点 ‎(1)重力做功与　路径　无关，只与始、末位置的　高度差　有关．‎ ‎(2)重力做功不引起物体　机械能　的变化．‎ ‎2．重力势能 ‎(1)表达式：Ep＝　mgh　.‎ ‎(2)重力势能的特点 ‎①系统性：重力势能是　物体和地球　所共有的．‎ ‎②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取　有关　，但重力势能的变化与参考平面的选取　无关　.‎ ‎3．重力做功与重力势能变化的关系 ‎(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就　减小　；重力对物体做负功，重力势能就　增大　.‎ ‎(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的　减小　量，即WG＝　－(Ep2－Ep1)　＝－ΔEp.‎ ‎[知识点2]　弹性势能　‎ ‎1．定义：物体由于发生　弹性形变　而具有的能．‎ ‎2．弹力做功与弹性势能变化的关系 弹力做正功，弹性势能　减小　；弹力做负功，弹性势能　增加　，即W＝　－ΔEp　.‎ ‎[知识点3]　机械能守恒定律及应用　‎ ‎1．机械能：　动能　和　势能　统称为机械能，其中势能包括　弹性势能　和　重力势能　.‎ ‎2．机械能守恒定律 ‎(1)内容：在只有　重力或弹簧弹力　做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能　保持不变　.‎ ‎(2)表达式：mgh1＋mv＝　mgh2＋mv　.‎ ‎3．守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功．‎ 判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．‎ ‎(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加. (√)‎ ‎(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能. (√)‎ ‎(3)弹簧弹力做正功时，弹性势能增加. (×)‎ ‎(4)物体速度增大时，其机械能可能在减小. (√)‎ ‎(5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒. (×)‎ ‎(6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化. (×)‎ ‎(7)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)‎ ‎[教材挖掘·做一做]‎ ‎1．(人教版必修2 P78第2题)(多选)神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的(　　)‎ A．飞船升空的阶段 B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段 C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段 D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段 答案：BC ‎2.(人教版必修2 P78第3题改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．重力对物体做的功为mgh B．物体在海平面上的势能为mgh C．物体在海平面上的动能为mv－mgh D．物体在海平面上的机械能为mv 答案：AD ‎3．(人教版必修2 P80第2题改编)如图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管轨道A、B内部(圆管A比圆管B高)．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道A内部最高位置时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者(　　)‎ A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能 B．经过管道A最低点时的动能大于经过管道B最低点时的动能 C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力 D．不能经过管道B的最高点 答案：C ‎　　　　　　‎ 考点一　机械能守恒的理解与判断 ‎[考点解读]‎ ‎1．对机械能守恒条件的理解 ‎(1)只受重力作用．‎ ‎(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．‎ ‎(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化．‎ ‎2．机械能守恒判断的三种方法 定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒 ‎[典例赏析]‎ ‎[典例1]　(2019·江门模拟)如图所示，两个相同的小球A与B分别用一根轻绳和一根轻弹簧的一端连接，轻绳和轻弹簧的另一端被悬挂在同一高度．现将两个小球都拉至相同的高度，此时弹簧长度为原长且与绳长相等．由静止释放两个小球以后，下列说法正确的是(　　)‎ A．两小球运动到各自的最低点时的速度相同 B．与轻绳连接的小球A在最低点时的速度较大 C．在运动过程中，小球A的机械能不守恒 D．在运动过程中，小球B的机械能不守恒 ‎[解析]　D　[对A球最低点动能等于重力势能的减少量，对B球最低点动能等于重力势能减少量与弹簧弹性势能增加量之差，但两球的重力势能减少量不相同，故两小球运动到各自的最低点时的速度大小关系不确定，故选项A、B错误；小球A运动过程中，只有重力做功，小球A的机械能守恒，故选项C错误；小球B运动过程中，弹簧对小球B做功，小球B的机械能不守恒，故选项D正确．]‎ ‎　对机械能守恒条件的理解及判断 ‎1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹 力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．‎ ‎2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．‎ ‎3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．‎ ‎[题组巩固]‎ ‎1．下列运动的物体中，机械能守恒的是(　　)‎ A．加速上升的运载火箭 B．被匀速吊起的集装箱 C．光滑曲面上自由运动的物体 D．在粗糙水平面上运动的物体 解析：C　[加速向上运动的运载火箭，动能和重力势能都增加，机械能增加，故A错误；被匀速吊起的集装箱动能不变，而重力势能增加，机械能增加，故B错误；光滑曲面上自由运动的物体，曲面对物体的支持力不做功，只有重力对物体做功，其机械能守恒，故C正确；在粗糙水平面上运动的物体做减速运动，重力势能不变，而动能减少，机械能减少，故D错误．]‎ ‎2．(2019·保定模拟)如图所示，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(　　)‎ A．A的加速度大小为g B．物体A机械能守恒 C．由于斜面光滑，所以物块B机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒 解析：D　[物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对B做正功，B的机械能增加，故C错误，D正确．]‎ ‎3.(2019·云南昆明三中、玉溪一中统考)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)‎ A．小球的动能与重力势能之和保持不变 B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小 C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变 解析：B　[小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒．弹簧原长时弹性势能为零，小球从C到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项对；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错．]‎ 考点二　单物体机械能守恒的应用 ‎[考点解读]‎ ‎1．常见类型：抛体类、摆动类、光滑轨道类．‎ ‎2．解题思路：当物体满足机械能守恒条件时，从两个角度列关系式．‎ ‎(1)从守恒的角度列关系式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，注意选取恰当的参考面，确定初、末状态的机械能．‎ ‎(2)从转化的角度列关系式：ΔEk＝－ΔEp，注意考虑动能和势能的变化量，与参考面无关．‎ ‎[典例赏析]‎ ‎[典例2]　(2017·全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　　)‎ A.　　 B.　 　　C. 　　　D. ‎[审题指导]　(1)光滑轨道→ 无摩擦力作用．‎ ‎(2)从轨道上端水平飞出→小物块离开轨道做平抛运动．‎ ‎[解析]　B　[据机械能守恒定律有mv2＝mg·2R＋mv，物块从轨道上端水平飞出做平 抛运动，有2R＝gt2和x＝vxt，联立解得水平距离最大时，对应的轨道半径为，故选B.]‎ 应用机械能守恒定律解题的基本思路 ‎[母题探究]‎ 母题 典例2‎ 探究1.抛体类机械能守恒 探究2.摆动类机械能守恒 探究3.光滑轨道类机械能守恒 ‎[探究1]　抛体类机械能守恒　‎ ‎(2019·苏州模拟)如图所示，水平地面与一半径为l的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方．在距地面高度为l的水平平台边缘上的A点，质量为m的小球以v0＝ 的速度水平飞出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道．小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，试求：‎ ‎(1)B点与抛出点A正下方的水平距离x；‎ ‎(2)圆弧BC段所对的圆心角θ；‎ ‎(3)小球滑到C点时，对圆轨道的压力．‎ 解析：(1)设小球做平抛运动到达B点的时间为t，由已知条件v0＝ 及平抛运动规律，l＝gt2，x＝v0t，联立解得x＝‎2l.‎ ‎(2)由小球到达B点时竖直分速度v＝2gl，‎ tan θ＝vy/v0，解得θ＝45°.‎ ‎(3)小球从A运动到C点的过程中机械能守恒，设到达C点时速度大小为vC，由机械能守恒定律 mgl＝mv－mv 设轨道对小球的支持力为F，有：‎ F－mg＝m，‎ 解得：F＝(7－)mg，‎ 由牛顿第三定律可知，小球对圆轨道的压力大小为F′＝(7－)mg，方向竖直向下．‎ 答案：(1)‎2l　(2)45°　(3)(7－)mg，方向竖直向下 ‎[探究2]　摆动类机械能守恒　‎ 如图所示，轻杆长度为L，一端固定一个质量为m的可视为质点的小球，另一端穿过光滑的水平轴O，杆可绕轴O转动．把小球拉至转轴上方的A点，此时轻杆与水平方向的夹角为θ，由静止释放，则小球到达最低点B的速度为多大？其他条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球到达最低点B的速度为多大？‎ 解析：小球与轻杆相连时，只有重力做功，设小球到达最低点时的速度为vB，根据机械能守恒定律，有 mgL(1＋sin θ)＝mv 解得vB＝ 小球与细绳相连时，如图所示，小球先做自由落体运动到绳拉直位置C，OC与水平方向的夹角为θ，小球在C点时的速度为v1，根据机械能守恒定律，有 ‎2mgLsin θ＝mv 解得v1＝ 小球在C点的速度分解为沿绳方向的分量v11和垂直绳方向的分量v12＝v1cos θ，在绳突然拉紧的瞬间，沿绳方向的分量v11消失，损失一部分机械能．‎ 小球由C点做圆周运动到最低点，根据机械能守恒定律，得mgL(1－sin θ)＋mv＝mv 解得vB＝ 答案：　 ‎[探究3]　光滑轨道类机械能守恒　‎ 如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R＝‎15 m的圆弧轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为‎15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍，g取‎10 m/s2.‎ ‎(1)H的大小．‎ ‎(2)试分析此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．‎ ‎(3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少．‎ 解析：(1)设小球通过D点的速度为v，由牛顿第二定律得：mg＝m 小球从P点运动至D点的过程，由机械能守恒定律得：mg＝mv2‎ 解得：H＝‎‎10 m ‎(2)若小球刚好沿竖直半圆轨道能运动到O点的速度为vC，在O点由牛顿第二定律得：mg＝m 小球至少应从HC高处落下，由机械能守恒定律得：‎ mgHC＝mv 解得：HC＝＝‎‎3.75 m 由于H＞HC，故小球可以通过O点 ‎(3)小球由P点落下通过O点的过程，由机械能守恒定律得：mgH＝mv 解得：v0＝‎10 m/s 小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，则有：x＝v0t y＝gt2‎ 且：x2＋y2＝R2‎ 解得：t＝1 s(另解舍弃)‎ 又有：vy＝gt v＝ 解得：v＝‎10 m/s.‎ 答案：(1)‎10 m　(2)能，理由见解析　(3)‎10 m/s 考点三　多物体的机械能守恒问题 ‎[考点解读]‎ 在多个物体组成的系统内，若只有动能和势能的转化，则系统机械能守恒，而系统内的单个物体，一般机械能不守恒，可以应用动能定理．解决此类问题关键是从三个角度建立关系式：‎ ‎1．守恒关系式 一般选用转化式(ΔEk＝－ΔEp)或转移式(ΔEA＝－ΔEB)．‎ ‎2．位移关系式 根据几何关系，建立两个连接物的位移关系式．‎ ‎3．速度关系式 ‎(1)对于同轴转动的两个物体，根据v＝ωr建立速度关系式．‎ ‎(2)对于绳(杆)牵连的两个物体，根据沿绳(杆)方向的分速度相等，建立速度关系式．‎ ‎[典例赏析]‎ ‎[典例3]　如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝‎0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆．质量为ma＝‎100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝‎36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝‎0.4 m的轻杆通过两铰链连接．现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝‎10 m/s2.求：‎ ‎(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；‎ ‎(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功．‎ ‎[审题指导]　由于环和杆都是光滑的，所以选a、b及杆组成的系统为研究对象时，只有重力做功，机械能守恒．‎ ‎[解析]　(1)当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切线向下，b的速度为零，‎ 由机械能守恒可得：magR＝mav2‎ 解得：v＝ 对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝＝2mag＝2 N ‎(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，则知va＝vbcos θ 由几何关系可得：cos θ＝＝0.8‎ 球a从P到Q下降的高度h＝Rcos θ a、b及杆组成的系统机械能守恒：‎ magh＝mav＋mbv－mav2‎ 对滑块b，由动能定理得：W＝mbv＝0.194 4 J.‎ ‎[答案]　(1)2 N　(2)0.194 4 J 多物体机械能守恒问题的解题思路 ‎[母题探究]‎ 母题 典例3‎ 探究1.轻绳连接的物体系统 探究2.轻杆连接的物体系统 探究3.轻弹簧连接的物体系统 ‎[探究1]　轻绳连接的物体系统　‎ 如图所示，把小车放在倾角为30°的光滑斜面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，不计滑轮质量及摩擦，已知小车的质量为‎3m，小桶与沙子的总质量为m，小车从静止释放后，在小桶上升竖直高度为h的过程中(　　)‎ A．小桶处于失重状态 B．小桶的最大速度为 C．小车受绳的拉力等于mg D．小车的最大动能为mgh 解析：B　[小桶能够由静止上升是由于小车对它的拉力大于它自身的重力，小桶加速度向上，则小桶处于超重状态，选项A错误；由于整个系统均在加速，当小桶上升至h高度时速度最大，对系统由机械能守恒定律得3mghsin 30°－mgh＝×4mv，解得vm＝，选项B正确；由于小桶处于超重状态，绳对小桶的拉力与绳对小车的拉力为相互作用力，大小相等，即FT＝mg＋ma，选项C错误；速度最大时的动能也最大，即Ekm＝×3mv＝mgh，选项D错误．]‎ ‎[探究2]　轻杆连接的物体系统　‎ ‎(2019·临夏模拟)(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为‎2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示．由静止释放后(　　)‎ A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能 C．杆从左向右滑时，甲球无法下滑到凹槽的最低点 D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 解析：ACD　[甲与乙两个小球构成的系统只有重力做功，机械能守恒，故甲减小的机械能一定等于乙增加的机械能，故A正确；甲与乙两个小球构成的系统机械能守恒，甲球减小的重力势能转化为乙的重力势能和动能以及甲的动能，故B错误；若甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，乙则到达与圆心等高处，但由于乙的质量比甲大，造成机械能增加了，明显违背了机械能守恒定律，故甲球不可能到凹槽的最低点，故C正确；由于机械能守恒，动能减为零时，重力势能不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，故D正确．]‎ ‎[探究3]　轻弹簧连接的物体系统　‎ 如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝‎4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，求：‎ ‎(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；‎ ‎(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；‎ ‎(3)物体A的最大速度的大小．‎ 解析：(1)弹簧恢复原长时，物体A、B的加速度大小相同，‎ 对B分析：mg－T＝ma 对A分析：T′－mgsin 30°＝ma 由于T′＝T 代入数据解得：T＝T′＝30 N.‎ ‎(2)初始位置，弹簧的压缩量为：x1＝＝‎10 cm，‎ 当物体A速度最大时，即物体A的加速度为0，对物体A分析有：mg＝kx2＋mgsin 30°‎ 弹簧的伸长量为：x2＝‎‎10 cm 所以物体A沿斜面上升的距离为：x＝x1＋x2＝‎20 cm.‎ ‎(3)因为x1＝x2，所以弹簧的弹性势能没有改变，由系统机械能守恒得：‎ mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝·‎2m·v2‎ 解得：v＝‎1 m/s.‎ 答案：(1)30 N　(2)‎20 cm　(3)‎1 m/s 思想方法(十)　非质点类机械能守恒的处理方法 方 法 阐 述 ‎.‎ ‎1.主要类型 有质量的杆、绳、链条、水柱等物体的运动．‎ ‎2.解题关键 这类物体的重力势能由重心的位置决定，确定重心位置是解题的关键．‎ ‎3.常用方法 当整体重心不易确定时，可分段处理，找出各部分的重心位置，求各段的重力势能 ‎[典例赏析]‎ ‎[典例]　如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车完全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)．‎ ‎[审题指导]　(1)因L＞2πR，车厢占满整个圆形轨道时，速度最小．‎ ‎(2)速度最小的条件是：车厢在圆形轨道最高点时仅由重力提供向心力．‎ ‎[解析]　当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，‎ 轨道上那部分列车的质量M′＝·2πR 由机械能守恒定律可得：Mv＝Mv2＋M′gR 又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝m，‎ 可求得：v0＝.‎ ‎[答案]　 ‎[题组巩固]‎ ‎1．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)‎ A. 　　　　　 B. C. D. 解析：A　[当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝，故A正确．]‎ ‎2．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a.现自由释放链条，则：‎ ‎(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由．‎ ‎(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？‎ 解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件．‎ ‎(2)设链条质量为m，如图，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，高度减少量h＝sin α＝sin α 该部分的质量为m′＝(L－a)‎ 由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，‎ 可解得：v＝.‎ 答案：(1)守恒　理由见解析　(2)