【数学】2020届一轮复习北师大版最值与范围问题学案 7页

第二课时　最值与范围问题 考向一　圆锥曲线中的最值问题 ‎【典例】 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2．‎ ‎(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；‎ ‎(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．‎ ‎[思路分析]‎ 总体 设计 看到：求直线方程和最值问题．‎ 想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题．‎ 解题 指导 ‎(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解AB的斜率；‎ ‎(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出直线方程.‎ ‎[规范解答]　(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意；所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b， 1分 代入方程y2＝4x得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋， 3分 ‎∵AB中点的横坐标为1，‎ ‎∴AB中点的坐标为，‎ ‎∴AB的中垂线方程为 y＝－(x－1)＋＝－x＋， 4分 ‎∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2，得k＝，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝x－. 5分 ‎(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－x＋，‎ ‎∴M点的坐标为(3,0)， 6分 ‎∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，‎ ‎∴M到直线AB的距离d＝＝， 7分 由得y2－ky＋2－k2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝，y1·y2＝， 8分 ‎|AB|＝|y1－y2|＝， 9分 ‎∴S△MAB＝4 ，‎ 设 ＝t，则0b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|．‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)∵|BC|＝2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|＝|AC|．‎ ‎∵∠OCA＝90°，∴C(，)．‎ 由题意知a＝2，‎ 则椭圆M的方程为＋＝1，‎ 将点C的坐标代入得＋＝1，解得b2＝4．‎ ‎∴椭圆M的方程为＋＝1．‎ ‎(2)设过点(0，t)的直线的斜率为k，当k＝0时，显然－20可得，t2<4＋12k2.①‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为H(x0，y0)，‎ 则x0＝＝，y0＝kx0＋t＝，‎ ‎∴H．‎ ‎∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即kDH＝－．‎ ‎∴＝－，化简得t＝1＋3k2，②‎ 由①②得，1