- 5.92 MB
- 2021-05-23 发布
第
2
讲
带电粒子
在复合场中的运动
专题六
电场与磁场
知识回扣 规律方法
高考题型
2
带电粒子
在组合场中的运动分析
高考题型
3
带电粒子
在周期性变化的电磁场中的运动分析
高考题型
1
带电粒子
在叠加场中的运动分析
高
考题
精选精练
知识回扣 规律方法
知识回扣
答案
1.
带电粒子在电场中常见的运动类型
(1)
匀变速直线运动：通常利用动能定理
qU
＝
来
求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用
W
＝
qEd
来求解
.
(2)
偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题
.
对于类平抛运动可直接
利用
以及
推论；较复杂的曲线运动
常用
__
的
方法来处理
.
m
v
2
－
m
v
0
2
平抛运动的规律
运
动的合成与分解
答案
2.
带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型
(1)
匀速直线运动：当
v
∥
B
时，带电粒子以速度
v
做
运动
.
(2)
匀速圆周运动：当
v
⊥
B
时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度
做
运动
.
3.
复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况
(1)
对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下
与
或
磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般
应
其
重力
.
匀速直线
匀速圆周
电场力
考虑
答案
(2)
题目中有明确说明是否要考虑重力的情况
.
(3)
不能直接判断是否要考虑重力的情况，在
进行
分析
与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力
.
受力
1.
正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受
的
及
初始运动状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析
.
2.
灵活选用力学规律是解决问题的关键
当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应
根据
列
方程求解
.
当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解
.
当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解
.
规律方法
答案
合外力
平衡条件
带电粒子在叠加场中的运动分析
高考题型
1
例
1
(2017·
广东惠州市第三次调研
)
平面
OM
和水平面
ON
之间的夹角为
30°
，其横截面如图
1
所示，平面
OM
和水平面
ON
之间同时存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为
B
，方向垂直于纸面向外，匀强电场的方向竖直向上
.
一带电小球的质量为
m
，
电荷量为
q
，带电小球沿纸面以大小为
v
0
的速度从
OM
的某点向左上方射入磁场，速度方向与
OM
成
30°
角，带电小球进入磁场后恰好做匀速圆周运动，已知粒子在磁场中的运动轨迹与
ON
恰好相切，且带电小球能从
OM
上另一点
P
射出磁场
(
P
未画出
).
图
1
答案
解析
(1)
判断带电小球带何种电荷？所加电场强度
E
为多大？
解析
小球在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，小球受到的电场力与重力平衡，小球所
受
电场力竖直向上，电场力方向与场强方向相同，则小球带正电荷；电场力与重力大小相等，则
qE
＝
mg
，解得：
E
＝
；
答案
解析
(2)
带电小球离开磁场的出射点
P
到两平面交点
O
的距离
s
多大？
根据题意，带电小球在匀强磁场中的运动轨迹如图所示，
解析
小球进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由
牛顿
Q
点为运动轨迹与
ON
相交的点，
I
点为入射点，
P
点为
出
射
点，则
IP
为圆轨道的弦，小球离开磁场的速度方向
与
OM
的夹角也为
30°
，由几何关系可得，
QP
为圆轨道的直径，所以
OP
的长度为
：
答案
解析
(3)
带电小球离开磁场后继续运动，能打在左侧竖直的光屏
OO
′
上，求此点到
O
点的距离多大？
解析
带电小球从
P
点离开磁场后做平抛运动，设小球打在光屏上的
T
点，竖直位移为
y
.
技巧点拨
1.
弄清叠加场的组成特点
.
2.
正确分析带电粒子的受力及运动特点
.
3.
画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律
.
(1)
若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止
.
例如电场与磁场中满足
qE
＝
q
v
B
；重力场与磁场中满足
mg
＝
q
v
B
；重力场与电场中满足
mg
＝
qE
.
(2)
三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有
mg
＝
qE
，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即
q
v
B
＝
m
.
(3)
当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解
.
1.(2017·
全国卷
Ⅰ
·16)
如图
2
，空间某区域存在匀强电
场
和匀
强磁场，电场方向竖直向上
(
与纸面平行
)
，磁场
方
向
垂直于纸面向里，三个带正电的微粒
a
、
b
、
c
电荷
量
相等
，质量分别为
m
a
、
m
b
、
m
c
，已知在该区域内，
a
在纸面内做匀速圆周运动，
b
在纸面内向右做匀速直线运动，
c
在纸面内向左做匀速直线运动
.
下列选项正确的
是
A.
m
a
＞
m
b
＞
m
c
B.
m
b
＞
m
a
＞
m
c
C.
m
c
＞
m
a
＞
m
b
D.
m
c
＞
m
b
＞
m
a
对点拓展练
√
答案
2
1
解析
图
2
2
1
解析
设三个微粒的电荷量均为
q
，
a
在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，即
m
a
g
＝
qE
①
b
在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则
m
b
g
＝
qE
＋
q
v
B
②
c
在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则
m
c
g
＋
q
v
B
＝
qE
③
比较
①②③
式得：
m
b
>
m
a
>
m
c
，选项
B
正确
.
2.
如图
3
所示，在平面直角坐标系
xOy
中，第一象限
内
存在
正交的匀强电磁场，电场强度
E
1
＝
40 N/C
；
第四
象限
内存在一方向向左的匀强电场
E
2
＝
N
/
C
.
一
质
量
为
m
＝
2×10
－
3
kg
的带正电的小球，从
M
(3.64 m
，
3.2
m)
点，
以
v
0
＝
1 m/s
的水平速度开始运动
.
已知球
在
第一
象限内做匀速圆周运动，从
P
(2.04 m,0)
点进入
第
四
象限后经过
y
轴上的
N
(0
，－
2.28 m)
点
(
图中未标出
).(
g
取
10 m/s
2
，
sin 37°
＝
0.6
，
cos 37°
＝
0.8)
求
：
(1)
匀强磁场的磁感应强度
B
的大小
；
答案
2
1
解析
图
3
答案
2 T
解析
由题意可知：
qE
1
＝
mg
解得：
q
＝
5
×
10
－
4
C
小球在第一、四象限的运动轨迹如图所示
.
则
R
cos
θ
＝
x
M
－
x
P
R
sin
θ
＋
R
＝
y
M
可得
R
＝
2 m
，
θ
＝
37°
由
q
v
0
B
＝
，
解得
B
＝
2 T
2
1
(2)
小球由
P
点运动至
N
点的时间
.
答案
解析
答案
0.6 s
解析
小球进入第四象限后受力分析如图所示
.
tan
α
＝
＝
0.75
可知小球进入第四象限后所受的电场力和重力的合力与速度方向垂直，即
α
＝
θ
＝
37°.
由几何关系可得：
OA
＝
OP
tan
α
＝
1.53 m
AN
＝
ON
－
OA
＝
0.75 m
又因
△
OAP
与
△
QAN
相似，所以
∠
QNA
＝
∠
OPA
＝
α
得
QN
＝
AN
cos
α
＝
0.6 m.
由
QN
＝
v
0
t
，解得
t
＝
0.6 s.
2
1
带电粒子在组合场中的运动分析
高考
题型
2
例
2
(2017·
宁夏石嘴山市
4
月模拟
)
如图
4
所示，在
xOy
平面内有以虚线
OP
为理想边界的匀强电场和匀强磁场区域，
OP
与
x
轴成
45°
角，
OP
与
y
轴之间的磁场方向垂直纸面向外，
OP
与
x
轴之间的电场平行于
x
轴向右，电场强度为
E
，在
y
轴上有一点
M
，
图
4
到
O
点的距离为
L
，现有一个质量为
m
，带电量为＋
q
的带电粒子从静止经电压为
U
的电场加速后从
M
点以垂直
y
轴的速度方向进入磁场区域
(
加速电场图中没有画出
)
，不计带电粒子的重力，求：
(1)
从
M
点进入匀强磁场的带电粒子速度的大小；
答案
解析
解析
由动能定理可知：
qU
＝
m
v
0
2
－
0
(2)
带电粒子在磁场中运动的轨迹与
OP
相切时，磁感应强度
B
的大小；
解析
由图中所示带电粒子在磁场中的运动轨迹及几何关系可知，
r
＋
r
＝
L
解得：
r
＝
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
则
Bq
v
0
＝
答案
解析
答案
解析
(3)
只改变匀强磁场磁感应强度的大小，使带电粒子经磁场能沿
y
轴负方向进入匀强电场，则带电粒子从
x
轴离开电场时的位置到
O
点的距离为多少？
解析
由图可知带电粒子能沿
y
轴负方向进入匀强电场时，在磁场中运动的轨迹半径为
R
＝
，
带电粒子在电场中做类平抛运动，加速度
a
＝
，
粒子在
y
轴方向做匀速运动，则有
R
＝
v
0
t
粒子在
x
轴方向做匀加速运动，则
x
＝
at
2
联立解得
x
＝
，
因此粒子从
x
轴离开电场的位置到
O
点的距离为
R
＋
x
＝
技巧点拨
带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下：
(1)
分别研究带电粒子在不同场区的运动规律
.
在匀强磁场中一般做匀速圆周运动
.
在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动
.
(2)
带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理
.
(3)
当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口
.
3.(2017·
山东烟台市模拟
)
如图
5
所示，在
xOy
平面内存在匀强电场和匀强磁场，匀强电场的场强大小为
E
，方向沿＋
y
方向，匀强磁场
Ⅰ
和
Ⅱ
的分界线为平行于
x
轴的直线，两磁场方向如图所示
.
在坐标原点
O
处沿
x
轴正向射出质量为
m
、电荷量为＋
q
的
带
对点拓展练
图
5
电粒子，粒子恰好从两磁场的分界线处的
P
(2
d
，
d
)
点离开电场进入匀强磁场
Ⅰ
中，最后刚好能从
x
轴上的
N
点离开匀强磁场
Ⅱ
.
不计粒子的重力，求：
(1)
粒子从
O
点进入电场时的速度；
答案
解析
解析
粒子在电场中运动时：
2
d
＝
v
0
t
d
＝
at
2
a
＝
解得
v
0
＝
答案
解析
(2)
粒子从
P
点进入磁场
Ⅰ
时的速度；
解析
由动能定理得
qEd
＝
m
v
2
－
m
v
0
2
得
v
＝
答案
解析
(3)
磁场
Ⅱ
的磁感应强度大小
.
则粒子从
P
点进入磁场
Ⅰ
时的速度方向与分界线的夹角
θ
＝
45°
由几何关系知：
R
cos 45°
＝
(
R
－
d
)
，解得
R
＝
(2
＋
)
d
带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析
高考
题型
3
例
3
(2017·
广东肇庆市第二次模拟
)
如图
6
甲所示，竖直挡板
MN
左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度
E
＝
40 N/C
，磁感应强度
B
随时间
t
变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向
.
t
＝
0
时刻，一质量
m
＝
8×10
－
4
kg
、电荷量
q
＝＋
2×10
－
4
C
的微粒在
O
点具有竖直向下的速度
v
＝
0.12 m/s
，
O
′
是挡板
MN
上一点，直线
OO
′
与挡板
MN
垂直，取
g
＝
10 m/s
2
，求
：
图
6
答案
(1)
微粒再次经过直线
OO
′
时与
O
点的距离；
解析
答案
1.2 m
解析
根据题意可知，微粒所受的重力大小
G
＝
mg
＝
8
×
10
－
3
N
，方向竖直向下
微粒所受电场力大小
F
＝
qE
＝
8
×
10
－
3
N
，方向竖直向上
因此重力与电场力平衡
微粒先在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
则
q
v
B
＝
m
解得：
R
＝
0.6 m
由
T
＝
得：
T
＝
10π s
则微粒在
5π s
内转过半个圆周，再次经直线
OO
′
时与
O
点的距离
：
L
＝
2
R
＝
1.2 m
(2)
微粒在运动过程中离开直线
OO
′
的最大高度；
答案
2.48 m
解析
微粒运动半周后向上匀速运动，运动的时间为
t
＝
5π s
，位移大小：
s
＝
v
t
≈
1.88 m
，轨迹如图所示，
则微粒离开直线
OO
′
的最大高度：
H
＝
s
＋
R
＝
2.48 m
答案
解析
(3)
水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与
O
点间的距离应满足的条件
.
答案
L
＝
(2.4
n
＋
1.8) m(
n
＝
0,1,2
，
…
)
，或
L
＝
(2.4
n
＋
0.6) m(
n
＝
0,1,2
，
…
)
解析
若微粒能垂直射到挡板上的某点
P
，
P
点在直线
OO
′
下方时，由图象可以知道，挡板
MN
与
O
点间的距离应满足：
L
＝
(2.4
n
＋
0.6) m (
n
＝
0,1,2
，
…
)
若微粒能垂直射到挡板上的某点
P
，
P
点在直线
OO
′
上方时，由图象可以知道，挡板
MN
与
O
点间的距离应满足：
L
＝
(2.4
n
＋
1.8) m (
n
＝
0,1,2
，
…
)
答案
解析
技巧点拨
变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性
.
这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动径迹的草图
.
4.
如图
7
甲所示，以两虚线
M
、
N
为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，
M
、
N
间电压
U
MN
的变化图象如图乙所示，电压的最大值为
U
0
、周期为
T
0
；
M
、
N
两侧为相同的匀强磁场区域
Ⅰ
、
Ⅱ
，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为
B
.
在
t
＝
0
时刻，将一带正电的粒子从边界线
M
上的
A
点由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为
T
0
.
两虚线
M
、
N
间宽度很小，粒子在其间的运动时间不计，也不考虑粒子所受的重力
.
求：
对点拓展练
图
7
(1)
该粒子的
比荷
；
答案
解析
解析
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
根据题意可知
T
＝
T
0
(2)
粒子第
1
次和第
2
次从右向左经边界线
N
离开磁场区域
Ⅰ
时两位置间的距离；
答案
解析
解析
由于不计粒子穿越
MN
间的时间，则可认为在
t
＝
0
时刻出发的粒子穿越
MN
的过程中，电压始终为
U
0
.
在
t
＝
T
0
时刻，粒子第
1
次自右向左穿过边界线
N
时再加速一次，进入磁场区域
Ⅱ
时的速度为
v
1
，即粒子在区域
Ⅰ
、
Ⅱ
匀速圆周运动一周时间
T
0
共被加速
2
次
.
对粒子从开始运动经过一个周期
T
0
过程，由动能定理得
2
qU
0
＝
m
v
1
2
解得
v
1
＝
设粒子第
2
次自右向左到达边界线
N
的速度为
v
2
，运动轨迹如图所示，由动能定理得
3
qU
0
＝
m
v
2
2
解得
v
2
＝
第
1
、
2
两次从右向左经边界线
N
离开磁场区域
Ⅰ
时的位置距离为
Δ
d
＝
2(
r
2
－
r
1
)
(3)
若粒子的质量
增加
，
电荷量不变，
t
＝
0
时，将其在
A
处由静止释放，求
t
＝
2
T
0
时粒子的速度大小
.
答案
解析
则粒子在磁场中的运动周期
从
t
＝
0
开始到
t
＝
2
T
0
的时间内，根据加速电压图象可知，粒子共加速了
4
次，经过加速电场时的电压大小分别为
U
0
、
对粒子总的运动过程，由动能定理得
高考题精选精练
题组
1
全国卷真题精选
1.(2016·
全国卷
Ⅰ
·15)
现代质谱仪可用来分析比质子
重
很多
倍的离子，其示意图如图
8
所示，其中
加速电压
恒定
.
质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经
匀
强
磁场偏转后从出口离开磁场
.
若某种一价正离子在
入
口
处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀
强
磁场
偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的
12
倍
.
此离子和质子的质量比约
为
A.11
B.12 C.121 D.144
答案
1
2
3
4
解析
图
8
√
解析
设质子的质量和电荷量分别为
m
1
、
q
1
，一价正离子的质量和电荷量为
m
2
、
q
2
.
对于任意粒子，在加速电场中，由动能定理得
1
2
3
4
由
①②
式联立得
m
＝
，
由题意知，两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，加速电压
U
不变，其中
B
2
＝
12
B
1
，
q
1
＝
q
2
，可
得
＝
144
，故选项
D
正确
.
题组
2
各省市真题精选
2.(2013·
重庆理综
·5)
如图
9
所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为
a
和
b
，内有带电量为
q
的某种自由运动电荷
.
导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为
B
.
当通以从左到右的稳恒电流
I
时，测得导电材料上、下表面之间的电压为
U
，且上表面的电势比下表面的低，由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为
√
1
2
3
4
图
9
答案
解析
1
2
3
4
解析
当粒子带负电时，粒子定向向左运动才能形成向右的电流，由左手定则判断负粒子受洛伦兹力的方向向上，上表面电势较低，符合题意
.
|
q
|
v
B
＝
|
q
|
E
＝
因
I
＝
n
|
q
|
v
S
＝
n
|
q
|
v
·
a
·
b
解得
n
＝
，
选项
C
正确
.
3.(2016·
北京理综
·22)
如图
10
所示，质量为
m
、电荷量为
q
的带电粒子，以初速度
v
沿垂直磁场方向射入磁感应强度为
B
的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动
.
不计带电粒子所受重力
.
(1)
求粒子做匀速圆周运动的半径
R
和周期
T
；
答案
解析
图
10
解析
由洛伦兹力提供向心力得，
F
洛
＝
q
v
B
＝
带电粒子做匀速圆周运动的半径
R
＝
匀速圆周运动的周期
T
＝
＝
1
2
3
4
(2)
为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度
E
的大小
.
答案
1
2
3
4
解析
答案
v
B
解析
粒子受电场力
F
电
＝
qE
，洛伦兹力
F
洛
＝
q
v
B
，由于粒子做匀速直线运动，则
qE
＝
q
v
B
，
电场强度
E
的大小
E
＝
v
B
.
图
11
4.(2016·
江苏单科
·15)
回旋加速器的工作原理如图
11
甲所示，置于真空中的
D
形金属盒半径为
R
，两盒间狭缝的间距为
d
，磁感应强度为
B
的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为
m
，电荷量为＋
q
，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为
U
0
.
周期
T
＝
.
一束该种粒子在
t
＝
0
～
时间
内从
A
处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零
.
现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用
.
求：
1
2
3
4
(1)
出射粒子的动能
E
m
；
答案
1
2
3
4
解析
(2)
粒子从飘入狭缝至动能达到
E
m
所需的总时间
t
0
；
答案
1
2
3
4
解析
解析
粒子被加速
n
次达到动能
E
m
，则
E
m
＝
nqU
0
1
2
3
4
粒子在狭缝间做匀加速运动，设
n
次经过狭缝的总时间为
Δ
t
，加速度
a
＝
粒子由静止做匀加速直线运动，
nd
＝
a
·Δ
t
2
(3)
要使飘入狭缝的粒子中有超过
99%
能射出，
d
应满足的条件
.
答案
解析
解析
只有在
0
～
(
－
Δ
t
)
时间内飘入的粒子才能每次均被加速，
则所占的比例为
η
＝
由于
η
>99%
，解得
d
< .
1
2
3
4