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- 2021-05-23 发布
湖北省竹溪一中、竹山一中、房县一中三校2019-2020学年
高二下学期7月联考试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知集合A=，B=，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
第4题图
D．对任意正数，
5．函数的图像大致为（ ）
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．已知函数y=f(x-1）+x2是定义在R上的奇函数，若f(-2) =1，则f(0)=（ ）
A．-3 B. -2 C．-1 D.0
8．的展开式中，的系数是20，则（ ）
A.2 B.-1 C.4 D.1
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）
A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）
A.[-，1） B.[-，） C.[，） D.[，1）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
14．记为数列的前项和．若，则 .
15. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ .
16．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
18.（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. （12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成
平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.
（1） 求；
（2） 求事件“且甲获胜”的概率.
20．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
21．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
⑴当与轴垂直时，求直线的方程；
⑵设为坐标原点，证明：．
22.（12分）已知函数.
（1） 讨论的单调性；
（2） 是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
C
B
B
C
B
A
A
A
D
13． -3 14．-63 15． 0.25 16．
17．【解析】：（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得 …………4
解得 …………5
（2）由，故
又 ……………7
由余弦定理及得
所以b=2 ……………10
18．【解析】(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，
则“课外体育不达标”人数为150，
∴列联表如下：……………4
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
∴K2＝＝≈6.061<6.635 …………6
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝＝；
故ξ的分布列为 …………10
ξ
1
2
3
P
故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝ ………12
19．【解析】(1)时，有两种可能：
①甲连赢两局结束比赛，此时； …………3
②乙连赢两局结束比赛，此时，…………5
∴； ……………6
（2） 且甲获胜，即平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为. ………12
20．【解析】（1）由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
.……………5
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
…………6
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故
设是平面DAE的法向量，则
可取 …………9
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为 ………12
21．【解析】（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.
…………………4
(2) 证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有
即，…………………6
∴ ………………7
…………………8
（2） ，
（3） ∴，∴ ………………12
22．【解析】(1)
当时，，此时在单调递增.
当时，令，解得或，令，解得.
此时在单调递增，在单调递减.
当时，令，解得或，令，解得.
此时在单调递增，在单调递减.
综上可得，当时，在单调递增.
当时，在单调递增，在单调递减.
当时，在单调递增，在单调递减.…………6
由（1）中结论可知，当时，在单调递增，
此时，∴，满足题意.
当时，若，即，则在单调递减，
此时，∴，满足题意.
若，即，则在单调递减，在单调递增.
此时
∵
∴当时，，
由可得，与矛盾，故不成立.
当时，，
由可得，与矛盾，故不成立.
综上可知，或满足题意. ………………12