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- 2021-05-23 发布
第三节圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心：,
半径：
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
解析：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
3．(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，
则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．
半径r＝|AB|＝＝.
∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－a2－a＋1>0，即3a2＋4a－4<0，所以－20)，
则解得
所以圆的标准方程为2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
3．(2018·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________________．
解析：法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝＝|a|，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，
即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
以圆为载体的轨迹方程的求法常出现在高考试题中，题型既有选择题、填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属于中低档题.
[典题领悟]
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，整理得
又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和.
[解题师说]
1．掌握“3方法”
2．明确“5步骤”
3．关注1个易错点
此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)
[冲关演练]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，
从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，重在考查数形结合与转化思想.,常见的命题角度有：,(1)斜率μ＝f(y－b,x－a)型最值问题；,(2)截距μ＝ax＋by型最值问题；,(3)距离μ＝(x－a)2＋(y－b)2型最值问题.
[题点全练]
角度(一) 斜率μ＝型最值问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，
解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
[题型技法] 形如μ＝型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标圆点的直线的斜率．
角度(二) 截距μ＝ax＋by型最值问题
2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
[题型技法] 形如μ＝ax＋by型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x－2)2＋y2＝3，故可令即从而y－x＝sin θ－cos θ－2＝sin－2，进而求出y－x的最大值和最小值．
角度(三) 距离μ＝(x－a)2＋(y－b)2型最值问题
3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[题型技法] 形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值．如本题中x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是求μ＝型最值问题；
角度(二)是将角度一中的变换为y－x，即求μ＝ax＋by型最值问题；
角度(三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题
找共性
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：
[冲关演练]
1．(2018·厦门模拟)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为( )
A．6 B.
C．8 D.
解析：选B x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，∴△ABP的面积的最小值为×5×＝.
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为________和________．
解析：由题意，得表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝.
答案：
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B 由得
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
2．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选D 因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
3．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C. D．4
解析：选B 由半径r＝＝＝2，得＝2.
∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B.
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(2018·成都高新区月考)已知圆C经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则该圆的面积是( )
A．5π B．13π
C．17π D．25π
解析：选D 法一：设圆心为(a，a＋1)，半径为r(r>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，又圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，故有解得故该圆的面积是25π.
法二：由题意可知圆心C在AB的中垂线y＋＝，即x－3y－3＝0上．由解得故圆心C为(－3，－2)，半径r＝|AC|＝5，圆的面积是25π.
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选A 直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，
则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
7．(2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
8．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．(2018·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为
(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
B级——中档题目练通抓牢
1．(2018·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
2．(2018·银川模拟)方程|y|－1＝表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选D 由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0平行，且它们之间的距离为＝2，所以r＝.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为 ________________.
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为
r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，
即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
答案：x2＋2＝
5．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意可知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
6．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，
∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
7．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标．
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，
∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，
故设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，
圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得
9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为( )
A．10 B．8
C．5 D．4
解析：选B ∵圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax＋by＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝，b＝时取“＝”，故选B.
4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：
①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；
②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；
③曲线C的长度l满足l>4；
④曲线C所围成图形的面积S满足π4，故③正确；
④由③知，π×120，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有解得x＝或x＝0(舍去)．
所以存在点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．