- 1.99 MB
- 2021-05-23 发布
微专题 74 利用几何关系求解最值问题
一、基础知识：
1、利用几何关系求最值的一般思路:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，
便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法
取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，
寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在
定点连成的线段延长线上。
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段
用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时
最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。
2、常见的线段转移：
（1）利用对称轴转移线段（详见例 1）
（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切
线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。
（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的
相互转化。
（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径
（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注
意点在双曲线的哪一支上）
3、与圆相关的最值问题：
（1）已知圆C 及圆外一定点 P ，设圆C 的半径为 r 则圆上点到 P 点
距离的最小值为 PM PC r ，最大值为 PN PC r （即连
结 PC 并延长， M 为 PC 与圆的交点， N 为 PC 延长线与圆的交点
（2）已知圆C 及圆内一定点 P ，则过 P 点的所有弦中最长的为直径，
最短的为与该直径垂直的弦 MN
解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为 2 22AB r d ，若 AB 最小，则 d
C
P
A
B
要取最大，在圆中 CP 为定值，在弦绕 P 旋转的过程中， d CP ，所以 d CP 时， AB
最小
（3）已知圆 C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的
最小值为 C lPM d r ，距离的最大值为 C lPN d r
（过圆心C 作l 的垂线，垂足为 P ，CP 与圆 C 交于 M ，其
反向延长线交圆C 于 N
（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的
切线，切线长的最小值为 PM
解： 2 2PM CP r ，则若 PM 最小，则只需 CP 最小即可，
所以 P 点为过C 作l 垂线的垂足时， CP 最小
过 P 作圆的切线，则切线长 PM 最短
4、与圆锥曲线相关的最值关系：
（1）椭圆：设椭圆方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
① 焦半径：焦半径的最大值为 a c ，最小值为 a c
② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为
22b
a
，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
（2）双曲线：设双曲线方程为
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
① 焦半径：焦半径的最小值为 a c ，无最大值
② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为
22b
a
，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
（3）抛物线：设抛物线方程为 2 2y px
① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即
2
p
② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 2p
二、典型例题：
l
M
C
P
N
l
C
P
M
例 1：已知在平面直角坐标系中，点 1,1 , 3,4A B ， P 为 x 轴上一动点，则 PA PB 的
最小值为___________
思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大
于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：
5AB ，但从图像上发现无论 P 在何处，
PA PB AB ，无法取到等号。（即使 , ,P A B 共线时
等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线
段。作 A 关于 x 轴的对称点 'A ，从而有 'AP A P ，所
以 PA PB 转化为 'PA PB ，可知当 ' , ,A P B 三点共线时，
' '
min
41PA PB A B ，即 min 41PA PB
答案： 41
小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。
同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。
（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段
转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件
例 2：设抛物线 2 4y x 上一点 P 到此抛物线准线的距离为 1d ，到直线 :3 4 12 0l x y 的
距离为 2d ，则 1 2d d 的最小值为（ ）
A. 3 B. 16
5
C. 18
5
D. 4
思路：通过作图可观察到直接求 1 2d d 的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可
得 1d 为 P 到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为 PF
（其中 F 是抛物线的焦点， 1,0F ），所以 1 2 2d d PF d ，
观察图像可得： 2
3 1 12 35F lPF d d
答案：A
例 3：已知过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别作 y 轴的垂
线，垂足分别为 ,C D ，则 AC BD 的最小值为__________
思路：设抛物线的准线为l ，由抛物线 2 4y x 可知 : 1l x ，
观察图像可知 1, 1A l B lAC d BD d 。而由抛物线定义可
得 ： ,A l B ld AF d BF ， 所 以
1 1 2AC BD AF BF AB ， 即 要 求 出
AC BD 的最小值，只需求出 AB 的最小值，即抛物线焦点弦
的最 小值 ，由抛 物线 性质可 知当 AB x 轴时 ， AB 最小， min 2 4AB p ，所以
min 2AC BD
答案： 2
例 4：已知点 3, 12P
在抛物线 2: 2 0E x py p 的准线上，过点 P 作抛物线的切线，
若 切 点 A 在 第 一 象 限 ， F 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 M 在 直 线 AF 上 ， 点 N 在 圆
2 2: 2 2 1C x y 上，则 MN 的最小值为（ ）
A. 1
5
B. 6
5
C. 2 D. 6 2 1
思路：由图像可知，固定 M 点，则圆C 上到 M 距离的最小值 1CM r CM ，所以只
需在直线上找到与圆心C 距离最小的点，即C 到直线 AF 的
距离。需要确定抛物线方程和 A 点坐标，由 3, 12P
可得准
线 方 程 为 1y ， 所 以 2p ， 抛 物 线 方 程 为
2 214 4x y y x ， 焦 点 0,1F 设 21, 4A a a
， 则
' 1
2y x ， 切 线 斜 率 1
2k a ， 从 而
21 1 14 43 2
2
a
k a a
a
， 即 4,4A ，
4 1 3
4 0 4AFk
，所以直线 AF 方程：3 4 4 0x y ，从而
min 22
6 8 4 11 53 4
MN
答案：A
例 5：抛物线 2y x 上的点到直线 4 3 8 0x y 距离的最小值是（ ）
A. 1
4
B. 4
3
C. 8
5
D. 3
思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于 x 的函数，设抛物线上的点 2,P x x ，则
2
2
2 2034 3 8 3 3 20 1 4
5 5 3 5 3P l
xx x
d
，所以最小值为 4
3
思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最
小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切
点坐标为 0 0,x y ，所求函数的导数 ' 2y x ，因为切线与
4 3 8 0x y 平行，所以 0
42 3x ，可得 0
2
3x ，进而
2
0 0
4
9y x ，故切线方程为： 4 4 2
9 3 3y x
，整理后
可得： 44 3 03x y ，所以两直线距离
48 3 4
5 3d
，
即抛物线上的点到距离的最小值
答案：B
例 6 ： 已 知 点 M 是 抛 物 线 2 4y x 的 一 点 ， F 为 抛 物 线 的 焦 点 ， A 在 圆
2 2: 4 1 1C x y 上，则 MA MF 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路：本题含两个动点 ,M A ，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定 M ，则圆
上距离 M 最近的点为 MC 与圆的交点，即 min 1MA MC r MC ，所以只需考虑
MC MF 的最小值即可，通过移动 M 可知，无论 M 位于何处， MC MF CF ，
所以 CF 不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线 : 1l x ，则 M lMF d ，所以
5M l C lMC MF MC d d （ 即 C 到 准 线 的 距 离 ， 所 以
1 1 4C lMA MF MC MF d
答案：C
例 7：已知动点 ,P x y 在椭圆
2 2
125 16
x y 上，若点 A 的坐标
为 3,0 ， 1, 0AM PM AM ，则 PM
的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
思路：由椭圆方程可知 A 即为椭圆的焦点，由 1AM 可知 M 是以 A 为圆心，半径为 1 的
圆上的点，P 在圆外，且由 0PM AM 可得 PM AM ，所以 PM 即为圆上的切线，PM
的 最 小 值 即 切 线 长 的 最 小 值 ， 由 圆 的 性 质 可 得 ：
2 22 1PM PA r PA ，所以只需找到 PA 的最小
值即可，由椭圆性质可知： min 5 3 2PA a c ，故
2
min min 1 3PM PA
答案：B
例 8：设 1F 是椭圆
2 2
125 16
x y 的左焦点，P 是椭圆上的任意一点，
点 M 的坐标为 6,4 ，则 1PM PF 的最大值为___________
思路：先作出椭圆图像，标出定点 1,M F 的位置，若从 1F M 入手，
则由图发现无论 P 在何处， 1 1PM PF F M 。与所求最大值
不符。考虑进行线段转移，发现 1PF 为左焦半径，所以考虑作出右焦点 2 3,0F ，利用
1 2 2 10PF PF a 进 行 线 段 转 移 。 即 1 210PM PF PM PF ， 只 需 求 出
2 maxPM PF ， 结 合 图 像 可 得 2 2PM PF F M ， 且
2 2
2 6 3 4 0 5F M ，从而可得： 1 2max 10 15PM PF F M
答案：15
例 9：设 P 是椭圆
2 2
19 5
x y 上一点， ,M N 分别是两圆 2 2
1 : 2 1C x y 和 2 :C
2 22 1x y 上的点，则 PM PN 的最小值和最大值分别为（ ）
A. 4,8 B. 2,6 C. 6,8 D. 8,12
思路：本题有三个动点 , ,P M N ，但观察可得 ,PM PN 之间没
有联系，所以若 PM PN 达到最小，则只需 ,PM PN 分别
达 到 最 小 即 可 。 固 定 P 点 ， 可 知
1 1 1 2 2 2min min1, 1PM PC r PC PN PC r PC
，所以 1 2 2PM PN PC PC ，可知 1 22,0 , 2,0C C 恰好为椭圆两个定点，所
以由椭圆定义可得： 1 2 2 6PC PC a ，所以 min 6 2 4PM PN ，同理可知：
1 1 1 2 2 2max max1, 1PM PC r PC PN PC r PC ， 所 以
max 6 2 8PM PN
答案：A
例 10 ： 设 ,P Q 分 别 为 22: 6 2C x y 和 椭 圆
2
2 110
x y 上 的 点 ， 则 ,P Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是
___________
思路：本题中 ,P Q 均为动点，所以考虑先固定一点不动，
比如Q 点，寻找此时达到最值时 P 位置的规律，进而再让
Q 运动起来，找到最值。观察图像可得Q 点固定时， PQ 达到的最大值时 P 在QC 延长线与
C 的交点处，即 PQ QC r ，由于 2r ，所以只需找到 QC 的最大值即可，设
,Q x y ，而 0,6C ，则 2 22 6QC x y ，由
2
2 110
x y 可得 2 210 1x y ，代入
消去 x 可得：
2
2 22 2 210 1 6 9 12 46 9 503QC y y y y y
，因为
1,1y ，所以当 2
3y 时， 2
max 50 5 2QC QC ，从而 6 2PQ QC r
答案： 6 2
三、历年好题精选
1、（2014，安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 , , 1, 0a b a b a b ，点
Q 满足 2OQ a b ，曲线 | cos sin ,0 2C P OP a b ，区域
| 0 ,P r PQ R r R ，若C 为两段分离的曲线，则（ ）
A. 1 3r R B. 1 3r R C. 1 3r R D. 1 3r R
2、已知直线 1 : 4 3 6 0l x y 和直线 2 : 1l x ，则抛物线 2 4y x 上一动点 P 到直线 1 2,l l
的距离之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 11
5
D. 37
16
3、已知点 4,0A 和 2,2B ， M 是椭圆
2 2
125 9
x y 上一动点，则 MA MB 的最
大值为_________
4、已知点 3, 12P
在抛物线 2: 2 0E x py p 的准线上，过点 P 作抛物线的切线，若切
点 A 在第一象限， F 是抛物线的焦点，点 M 在直线 AF 上，点 N 在圆
2 2: 2 2 1C x y 上，则 MN 的最小值为（ ）
A. 1
5
B. 6
5
C. 2 D. 6 2 1
5、已知圆 2 2
1 : 2 3 1C x y ，圆 2 2
2 : 3 4 9C x y , ,M N 分别是圆 1 2,C C
上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM PN 的最小值为 （ ）
A．5 2 4 B． 17 1 C． 6 2 2 D． 17
6、（2016，绵阳二模）已知点 P 在单位圆 122 yx 上运动，点 P 到直线3 4 10 0x y 与
3x 的距离分别记为 1 2,d d ，则 1 2d d 最小值为_________．
7、已知点 P 是双曲线
2 2
136 64
x y 的右支上一点， ,M N 分别是圆 2 210 4x y 和
2 210 1x y 上的点，则 PM PN 的最大值为_________
习题答案：
1、答案：A
解析：由 ,a b
的特点可以以 ,a b
所在直线为坐标轴建系，则有 1,0 , 0,1a b ，
所以曲线C 上点的坐标为 cos ,sin ，即圆心是原点的单位圆；另一方面
2, 2OQ 可得 2, 2 , 2Q OQ ，所以 区域为以Q 为圆心， ,r R 为半径的
圆环。通过数形结合可得若C 为两段分离的曲线，意味着以Q 为圆心， ,r R 为
半径的圆均与单位圆相交。所以
1
1 1 3
1
OQ r
R r R
OQ R
2、答案：A
解析：观察直线 2l 的方程恰好是抛物线的准线，所以想到 P 到 2l 的距离与 PF 相等（ F 是抛
物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以
1 2 1P l P l P ld d d PF ，通过作图观察
可得
1 1P l F ld PF d （等号成立条件：P 为 F 到 1l 的垂线与抛物线的焦点），且 1,0F ，
所以 1 2 1min
4 0 6 25P l P l F ld d d
3、答案：10＋2 10
解析：可知 A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点
为 1 4,0A ，连接 1BA 并延长交椭圆于 1M ，则 1M 是使
MA MB 取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点
M 有： 2 2
1 12 2 2 5 6 2 10 2 10MA MB a MA MB a A B
4、答案：A
解析：由点 3, 12P
在抛物线准线上可得： 2p
2 21: 4 4E x y y x ' 1
2y x
设 21, 4A a a
2
'
1 1 14| 3 2
2
AP x a
a
k y a
a
解得： 4, 1a a （舍）
4,4A 由 0,1F 可得 AF 的方程为： 31 3 4 4 04y x x y
M 在直线 AF 上， N 在圆上
2 2
3 2 4 2 4 6 11 15 53 4C lMN d r
5、答案：A
解析：设圆 1 2,C C 的半径为 1 2,r r ，即 1
2
1
3
r
r
，可知 1 1 2 2,PM PC r PN PC r
1 2 1 2 1 2 4PM PN PC PC r r PC PC
1 2,3C 关于 x 轴对称点为 '
1 2, 3C
2 2' '
1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 5 2PC PC PC PC C C
5 2 4PM PN ，等号成立条件： '
1 2, ,C C P 共线
6、答案： 4 55 5
解析：设点 cos ,sinP ，可得 1 2 2
3cos 4sin 10 10 4sin 3cos
53 4
d
，
2 3 cosd ，所以 1 2
1 4 55 4sin 8cos 5 sin5 5d d ，所以 1 2d d 的
最小值为 4 55 5
7、答案：15
解析：在双曲线
2 2
136 64
x y 中， 6, 8, 10a b c
1 210,0 , 10,0F F 1 2 2 12PF PF a
1 1 2 2,MP PF MF PN PF NF
1 1 2 2 15PM PN PF MF PF NF