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- 2021-05-22 发布
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 1 页 共 11 页
四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试
2021 届高三第一学期 11 月月考文科数学试题
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合 3|A x y lg x ， 2{ | 6 8 0}B x x x ，则 A B （ ）
A． | 2 3x x B． | 2 3x x C． | 2 4}x x D． |3 4x x
2．已知复数 z 满足 (1 ) 2z i i ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“直线 l 与平面 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
4．已知等差数列 na 、 nb ，其前 n 项和分别为 nS 、 nT ， 2 3
3 1
n
n
a n
b n
，则 11
11
S
T
（ ）
A． 15
17 B． 25
32 C．1 D． 2
5．若 3tan 4
，则 2cos 2sin 2 （ ）
A． 64
25 B． 48
25 C．1 D． 16
25
6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． 2
3 B． 4
3 C．2 D．
7．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后 第七位.利用随机
模拟的方法也可以估计圆周率的值，如右图程序框图中 rand( )表示产生区间[ ]0,1 上的随机数，则由此可估计 的
近似值为（ ）
A． 0.001n B. 0.002n C. 0.003n D． 0.004n
8. 2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业
生产口罩，下表为某小型工厂 2-5 月份生产的口罩数（单位：万）
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 2 页 共 11 页
月份 x 2 3 4 5
口罩数 y 4.5 4 3 2.5
口罩数 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 0.7y x a ，则 a 的值为（ ）
A．6.1 B．5.8 C．5.95 D．6.75
9．若变量 x ， y 满足约束条件
2 ,
1,
1
y x
x y
x
，则的 1
1
yz x
取值范围是（ ）
A． 1 1, ,2 2
B． 1 3,2 2
C． 1 1,2 2
D． 1 3, ,2 2
10．设 f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 xR ，都有 2 2f x f x ，且当 2,0x 时，
1 12
x
f x
，若关于 x 的方程 log 2 0( 1)af x x a 在区间 2,6 内恰有三个不同实根，则实数 a 的
取值范围是（ ）
A． 4 43, 8 B． 3 4,2 C． 4 3,2 D． 3 4,2
11．已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 2F 作一条直线与双曲线右支交于 A B， 两
点，坐标原点为O ，若 1 5OA c BF a， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 15
2
B． 10
2
C． 15
3
D． 10
3
12．已知函数 e e cos2
x x
f x x x R
， 1,4x ， ln 2 2 2 2 lnf mx x f f x mx ，则实
数 m 的取值范围是（ ）
A． 1 2 1 1 2,2 2
n n
B． 1 1 ln 2,e 2
C． 1 2 1 2,12 2
n n D． 1 1 2,1e 2
n
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卷上）
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 3 页 共 11 页
13．已知抛物线 2 4x y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 到抛物线焦点的距离为
14．某校有学生 3600 人，教师 400 人，后勤职工 200 人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样的方法从中
抽取 210 人，则某位教师被抽到的概率为__________ .
15．在 ABC 中，已知 2AB ，| | | |CA CB CA CB ， 2cos2 2sin 12
B CA ，则 BA
在 BC
方向上的投
影为__________.
16. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，直线 2 2y x 与圆 2 2 2 2nx y a 交于 nA ， *
nB n N 两点，且
21
4n n nS A B .若 2
1 2 32 3 2n na a a na a 对 *n N 成立，则实数 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知向量 BAm cos,cos ，
bcan 2, ，且 nm // ．（1）求角 A 的大小；（2）若 4a ，求 ABC 面积的最大值．
18．（本小题满分 12 分）一年一度的“双 11”临近，淘宝电商网购平台为了提前了解成都市民在该平台的消费情
况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制如图所示频率分布直方图，
已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求 ,m n 的值；（2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计，发现
消费金额不低于 300 元的男性有 20 人，低于 300 元男性有 25 人，根据统计数据完成下列 2 2 列联表，并判断是
否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
2 2 列联表
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 4 页 共 11 页
附：
2
2 = ,n ad bcK a b c d a c b d
其中 .n a b c d
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024[来源:学科网 ZK] 6.63 5 7.879 10.828
19.在如图所示的几何体中，已知 BAC 90 ，PA 平面 ABC，AB 3 ，AC 4 ，PA 2. 若 M 是 BC 的中
点，且 PQ / /AC ， QM / / 平面 PAB． 1 求线段 PQ 的长度； 2 求三棱锥 Q AMC 的体积 V．
20.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 3
2
， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，
1 2F PF 面积的最大值为 3 .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点 (4,0)A 作关于 x 轴对称的两条不同直线 1 2,l l 分别交椭圆于 1 1( , )M x y 与 2 2( , )N x y ，且 1 2x x ，求证：
直线 MN 过定点。
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21.已知函数 2( ) ln 3 ( )f x x ax x a R .（1）若函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2y ，求函数 ( )f x 的
极值；（2）若 1a ，对于任意 1 2, [1,10]x x ，当 1 2x x 时，不等式 1 2
1 2
1 2
( ) ( ) m x xf x f x x x
恒成立，求实数 m
的取值范围.
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 C 的参数方程为 2 2cos
2sin
x
y
，
（ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 3 2sin( )4 2
．
（I）求曲线 C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若 (0,1)A ，直线l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N，求 1 1
| | | |AM AN
的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) | 2 | | 3|f x x ax ．
（1）当 3a 时，求不等式 ( ) 6f x 的解集；
（2）若 1
2x ，不等式 2( ) 3f x x x 恒成立，求实数 a的取值范围．
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 6 页 共 11 页
高 2018 级高三（上）11 月月考
（文科）数学参考答案
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1-5:DBBAA; 6-10:ADCCB 11-12:BD
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卷上）
13． 5 .14．____ 1
20 _____.15．______ 3 ____.16.__ 1( , )2
____.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分 12 分）
【解析】（1） nm // ，所以 0cos2cos AbcBa ，
由正弦定理得 BAcossin 0cossinsin2 ABC ，
ACABBA cossin2cossincossin
ACBA cossin2sin ，由 CBA ， ACC cossin2sin
由于 C0 ，因此 0sin C ，所以 2
1cos A
，由于 A0 ， 3
A
（6 分）
（2）由余弦定理得 Abccba cos2222
bcbcbcbccb 216 22 ，因此 16bc ，当且仅当 4 cb 时，等号成立；
因此 ABC 面积 34sin2
1 AbcS ，因此 ABC 面积的最大值 34 ．（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
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【详解】（1）由频率分布直方图可知， 0.01 0.0015 2 0.001 0.006m n ，
由中间三组的人数成等差数列可知 0.0015 2m n ，可解得 0.0035m ， 0.0025n （4 分）
（2）周平均消费不低于 300 元的频率为 0.0035 0.0015 0.001 100 0.6 ，因此 100 人中，周平均消费不低
于 300 元的人数为100 0.6 60 人.（6 分）
所以 2 2 列联表为（8 分）
男性 女性 合计
消费金额 300³ 20 40 60
消费金额 300 25 15 40
合计 45 55 100
2
2 100(20 15 25 40) 8.249 6.63545 55 60 40K
所以有99% 的把握认为消费金额与性别有关.（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
【解析】 1 取 AB 的中点 N，连接 MN，PN，
MN / /AC ，且 1MN AC 22
，
PQ / /AC ， P 、Q、M、N 确定平面 α，
QM / / 平面 PAB，且平面 α平面 PAB PN ，
又 QM 平面 α， QM / /PN ，
四边形 PQMN 为平行四边形， PQ MN 2 ．（6 分）
2 取 AC 的中点 H，连接 QH，
PQ / /AH ，且 PQ=AH=2， 四边形 PQHA 为平行四边形，
QH / /PA ， PA 平面 ABC， QH 平面 ABC，
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 8 页 共 11 页
AMC
1 1S AC AB 32 2
（ ） ， QH PA 2 ，
三棱锥 Q AMC 的体积： AMC
1 1V S QH 3 2 23 3 ．（12 分）
20．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）设 2 2 2a b c ，则
3
2
c
a
，设 ,P x y ，则
1 2 1 2
, 3F PF F PFS c y y b S bc .解得
2
1
a
b
.所以椭圆C 的方程为
2
2 14
x y
.（4 分）
（Ⅱ）设 MN 方程为 , 0x ny m n ，
1 1 2 2(x , ),N(x , )M y y ，联立 2 24 4 0
x ny m
x y
，
得 2 2 24 2 4 0n y nmy m ，
2
1 2 1 22 2
2 4,4 4
nm my y y yn n
，（6 分 ）
因为关于 x 轴对称的两条不同直线 1 2,l l 的斜率之和为 0，
即 1 2
1 2
04 4
y y
x x
，即 1 2
1 2
04 4
y y
ny m ny m
，（8 分）
得 1 2 1 2 1 22 4 0ny y m y y y y ，即 2 2
2 2 2
2 4 2 8 04 4 4
n m nm nm
n n n
.解得： 1m .
直线 MN 方程为： 1x ny ，所以直线 MN 过定点 1,0B （12 分）
21．（本小题满分 12 分）
【详解】（1）由题意得函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1( ) 2 3f x axx
由函数 ( )f x 在点 1, 1f 处的切线方程为 2y ，得 (1) 1 2 3 0f a ，解得 1a （2 分）
此时 2( ) ln 3f x x x x ，
21 2 3 1( ) 2 3 x xf x xx x
.令 ( ) 0f x ，得 1x 或 1
2x .（3 分）
当 10, 2x
和 (1, )x 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递增，当 1 ,12x
时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递减，
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 9 页 共 11 页
则当 1x 时，函数 ( )f x 取得极小值，为 (1) ln1 1 3 2f ，
当 1
2x 时，函数 ( )f x 取得极大值，为 1 1 1 3 5ln ln 22 2 4 2 4f .（5 分）
（2）由 1a 得 2( ) ln 3f x x x x .
不等式 2 1
1 2
1 2
m x xf x f x x x
可变形为 1 2
1 2
m mf x f x x x
，
即 1 2
1 2
m mf x f xx x
因为 1 2, [1,10]x x ，且 1 2x x ，所以函数 ( ) my f x x
在[1,10]上单调递减.（8 分）
令 2( ) ( ) ln 3 , [1,10]m mh x f x x x x xx x
，
则 2
1( ) 2 3 0mh x xx x
在 [1,10]x 上恒成立，
即 3 22 3m x x x 在 [1,10]x 上恒成立（10 分）
设 3 2( ) 2 3F x x x x ，则
2
2 1 1( ) 6 6 1 6 2 2F x x x x
.
因为当 [1,10]x 时， ( ) 0F x ，
所以函数 ( )F x 在[1,10]上单调递减，所以 3 2
min( ) (10) 2 10 3 10 10 1710F x F ，
所以 1710m ，即实数 m 的取值范围为 ( , 1710] .（12 分）
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
【解】（I）依题曲线 2 2
:( 2) 4C x y ，故 2 2 4 0x y x ，即 2 4 cos 0 ，即 4cos ．（2 分），
数学（文科）“11 月月考”考试题 第 10 页 共 11 页
由 3 2
4 2sin
，可得 2 2 2
2 2 2sin cos ，即 1 0sin cos ，（3 分）
将 x cos ， y sin 代入上式，可得直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y ．（5 分）
（Ⅱ）将直线 l 的参数方程
2
2
21 2
x t
y t
（6 分），
代入 2 2 4 0x y x 中，化简可得 2 3 2 1 0t t ，
设 M，N 所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 3 2t t ， 1 2 1t t ，（8 分）
故 1 2
1 2
1 1 | | | | 3 2| | | | | | | |
t tAM AN
AM AN AM AN t t
．（10 分）
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
【解析】（1）当 3a 时， ( ) | 2 | 3| 1|f x x x ，不等式 ( ) 6f x 可化为| 2 | 3| 1| 6x x ．（1 分）
①当 2x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 4 5x ，无解；
②当 2 1x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 2 1x ，解得 1 12 x ；（3 分）
③当 1x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 4 7x ，解得 71 4x ，
综上，可得 1 7
2 4x ，故不等式 ( ) 6f x 的解集为 1 7( , )2 4
．（5 分）
（2）当 1
2x 时，不等式 2( ) 3f x x x ，即 22 | 3| 3x ax x x ，整理得 2| 3| 1ax x ，
即 2 21 3 1x ax x ，即 2 22 4x ax x ，因为 1
2x ，所以分离参数可得
2
4
a x x
a x x
．（8 分）
显然函数 2( )g x x x
在 1[ , )2
上单调递减，所以 1 7( ) ( )2 2g x g ，而函数 4 4( ) 2 4h x x xx x
，当且仅
当 4x x
，即 2x 时取等号，所以实数 a的取值范围为 7[ ,4]2
．（10 分）
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