【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 5页

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 一、选择题 ‎1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为(　　)‎ A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎[答案]　B ‎2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是(　　)‎ A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 ‎[答案]　C ‎[解析]　该推理是正确的．‎ ‎3．给定集合A、B，定义A*B＝{x|x＝m－n，m∈A，n∈B}，若A＝{4,5,6}，B＝{1,2,3}，则集合A*B中的所有元素之和为(　　)‎ A．15 B．14‎ C．27 D．－14‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　A*B＝{1,2,3,4,5},1＋2＋3＋4＋5＝15.‎ ‎4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎[答案]　A ‎[解析]　直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线．‎ ‎5．(2018·洛阳市高三期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是(　　)‎ 大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.‎ 小前提：正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.‎ 结论：A1B1∥AD．‎ A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误 C．小前提出错导致推理错误 D．仅结论错误 ‎[答案]　B ‎[解析]　由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．‎ ‎6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎[答案]　C ‎[解析]　用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．‎ 二、填空题 ‎7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________.‎ ‎[答案]　一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形．‎ ‎8．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：‎ 大前提_____________________________________________________．‎ 小前提___________________________________________________________．‎ 结论______________________________________________________．‎ ‎[答案]　所有一次函数的图像都是一条直线　函数y＝2x＋5是一次函数　函数y＝2x＋5的图像是一条直线 三、解答题 ‎9．将下列演绎推理写成三段论的形式．‎ ‎(1)菱形的对角线互相平分．‎ ‎(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．‎ ‎[答案]　(1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 ‎(2)一切奇数都不能被2整除大前提 ‎75是奇数小前提 ‎75不能被2整除结论 ‎10．下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处．‎ ‎(1)求证：四边形的内角和等于360°.‎ 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°‎ ‎＋90°＋90°＋90°＝360°.所以，四边形的内角和等于360°.‎ ‎(2)已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．‎ 证明：依题设，和都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以＋也必是无理数．‎ ‎(3)设a＝b(a≠0，b≠0)．‎ 等式两边乘以a，得a2＝ab，‎ 两边减去b2，得a2－b2＝ab－b2，‎ 两边分解因式，得(a＋b)(a－b)＝b(a－b)，‎ 两边除以(a－b)，得a＋b＝b，‎ 以b代a，得2b＝b，‎ 两边除以b，得2＝1.‎ ‎[解析]　上述推理过程都是错误的．‎ ‎(1)犯了偷换论题、以偏概全的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．‎ ‎(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．因此原题的真实性仍无法断定．‎ ‎(3)所得结果显然是错误的，错误的原因在于以(a－b)除等式两边．因为a＝b，而a－b＝0，用0除等式两边，这是错误的．‎ ‎11.(2018·淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理：‎ 大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；‎ 小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；‎ 结论：所以直线b∥直线a.‎ 在这个推理中(　　)‎ A．大前提正确，结论错误 B．小前提与结论都是错误的 C．大、小前提正确，只有结论错误 D．大前提错误，结论错误 ‎[答案]　D ‎[解析]　如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a⊂平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D．‎ ‎12．(2018·淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)‎ 的个数为12，……，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)‎ A．76 B．80‎ C．86 D．92‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　记|x|＋|y|＝n(n∈N*)的不同整数解(x，y)的个数为f(n)，则依题意有f(1)＝4＝4×1，f(2)＝8＝4×2，f(3)＝12＝4×3，……，由此可得f(n)＝4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为f(20)＝4×20＝80，选B．‎ ‎13．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)‎ A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°‎ B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式 ‎[答案]　A ‎[解析]　选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．‎ 二、填空题 ‎14．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上是________推理．‎ ‎[答案]　三段论 ‎15．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： ____________________________________________________.‎ ‎[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)‎ ‎16．三段论“平面内到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是________.‎ ‎[答案]　大前提 ‎[解析]　大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．‎ 而因为F1(－2,0)、F2(2,0)间距离为|F‎1F2|＝4，‎ 所平平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)‎ 的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．‎ 三、解答题 ‎17．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．‎ ‎[解析]　已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－‎2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．‎ 说明：此推理过程用三段论表述为：‎ 大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；‎ 小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；‎ 结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．‎ 解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．‎ ‎18．下面给出判断函数f(x)＝的奇偶性的解题过程：‎ 解：由于x∈R，且 ‎＝· ‎＝＝＝－1.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．‎ 试用三段论加以分析．‎ ‎[解析]　判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．‎