新人教数学九年级下册：达标训练（27-3位似） 6页

达标训练 基础•巩固 1.下列说法错误的是() A.相似图形不一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形 C.同一底版的两张照片是位似图形 D.放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形 思路解析：位似是相似的特例，选项 A、B都正确；选项 C不能确定两张照片的位置，它们不一定位似； 选项 D是正确的. 答案：C 2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为 1∶2，且它们面积和为 80，则较小的多边形的面积 是() A.16B.32C.48D.64 思路解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比. 相似比为 1∶2，则面积比为 1∶4，由面积和为 80，得到它们的面积分别为 16，64. 答案：A 3.利用位似的方法把图 27.3-16缩小一倍，要求所作的图形在原图内部. 图 27.3-16 思路解析：利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心取 在原图内部，可以取两邻边垂直平分线的交点. 解：(1)在五边形 ABCDE内部任取一点 O. (2)以点 O为端点作射线 OA、OB、OC、OD、OE. (3) 分 别 在 射 线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 上 取 点 A′ 、 B′ 、 C′ 、 D′ ， 使 OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2. (4)连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. 得到所要画的多边形 A′B′C′D′E′(如图). 4.如图 27.3-17，已知 O是四边形 ABCD的边 AB上的任意一点，且 EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明 四边形 EFGH与四边形 ABCD是否位似，并说明你的理由. 图 27.3-17 思路解析：通过观察，我们可以猜想出四边形 EFGH与四边形 ABCD关于点 O位似，两个四边形各对应 顶点的连线交于同一点 O，不经过点 O的其它三边平行.关键是如何说明两者是相似的. 三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要 所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可.从 EH∥AD、HG∥DC、GF∥BC可得三对 相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想. 解：四边形 EFGH∽四边形 ABCD. 理由：∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAD. ∴∠1=∠A，∠2=∠3， OD OH AD EH OA OE  . 同理∠4=∠5，∠6=∠7， OC OG DC HG OD OH  ， ∠8=∠9，∠10=∠B， OB OF BC FG OC OG  . ∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG=∠ADC. ∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF=∠DCB. ∴ k AD EH OB OF OA OE  . ∴OE=k·OA，OF=k·OB.∴ k OBOA OBOAk OBOA OFOE       )( ，即 k AB EF  . ∴∠1=∠A，∠EHG=∠ADC，∠HGF=∠DCB，∠10=∠B， BC FG DC HG AD EH AB EF  . ∴四边形 EFGH∽四边形 ABCD. ∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点 O，不经过点 O的其它三边平行, ∴四边形 EFGH与四边形 ABCD是位似形. 5.画出图 27.3-18中位似图形的位似中心. 图 27.3-18 思路解析：同例 2. 答案：如图所示 综合•应用 6.如图图 27.3-19，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°. 图 27.3-19 (1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为 2∶1； (2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸② 中设计一个以点 O为对称中心，并且以直线 l为对称轴的图案. 思路解析：把 A′B′的中点放到点 O的位置，使 B′C′与直线 l垂直. 答案：如图 7.如图 27.3-20，有一种视力表，它是以能否分辨出“E”的开口朝向(图(2)中 AB、CD两个缺口，E的外形轮 廓为正方形)为依据来测定视力的. 图 27.3-20 如图③，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点 O看去，点 P1、P2、O在一条直线上为止，这时 我们说，在 D1处用①号“E”测得的视力与在 D2处用②号“E”测得的视力相同. 现有一个标准视力表，“E”的最大边长为 14.5 cm，测试距离为 5 m，根据这个视力表，制作一个测试距离 为 1 m的视力表，“E”的最大边长应为多少？ 思路解析：根据题中图③所示的方法制作，△P1A1O与△P2A2O关于点 O位似. 解：如图③，假设大号“E”与小号“E”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的.因此 P1A1∥P2A2， 又 P1，P2，O在一条直线上，所以∠O为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角 形相似，得 △P1A1O∽△P2A2O，所以 . 2 1 2 1 l l b b  把 l1=5,l2=1,b1=14.5代入上式,得 1 55.14 2  b .解得 b2=2.9(cm). 答:“E”的最大边长为 2.9cm. 8.如图 27.3-21，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好 与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是 1.6 m，他的影长是 2 m. 图 27.3-21 (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度. 思路解析：△ABC与△ADE中，BC与 DE平行，两个三角形位似.这是借助影子，测量顶部不可到达的物 体的高的常用方法. 解：(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE,DE⊥AE,∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE (2)由(1),得△ABC∽△ADE. ∴ . DE BC AE AC  ∵AC=2 m，AE=2＋18=20(m)，BC=1.6 m， ∴ DE 6.1 20 2  .∴DE=16. 答：古塔的高度为 16 m. 回顾•展望 9.(2010广西模拟)正方形网格中，每个小正方形的边长为 1个单位，以 O为原点建立平面直角坐标系，圆 心为 A(3,0)的⊙A被 y轴截得的弦长 BC=8，如图 27.3-22所示， 图 27.3-22 解答下列问题： (1)⊙A的半径为__________； (2)请在图 27.3-22中将⊙A先向上平移 6个单位，再向左平移 8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D 的圆心 D 点的坐标是__________；⊙D 与 x 轴的位置关系是__________；⊙D 与 y 轴的位置关系是 __________；⊙D与⊙A的位置关系是__________. (3)画出以点 E(-8，0)为位似中心，将⊙D缩小为原来的 2 1 的⊙F. 思路解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化. (1)连接 AC，根据垂径定理，有勾股定理可以计算； (2)⊙A的平移实质是圆心的平移，因此点 D的坐标为(-5,6)，由点 D的坐标看，⊙D与 x轴相离，与 y轴 相切，与⊙A外切； (3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上. 解：(1)5. (2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切. (3)连接 DE，取 DE的中点 F，以 F为圆心，2.5为半径作圆. 10.(2010浙江嘉兴模拟)如图 27.3-22，8×8方格纸上的两条对称轴 EF、MN相交于中心点 O，对△ABC分 别作下列变换： ①先以点 A为中心顺时针方向旋转 90°，再向右平移 4格、向上平移 4格； ②先以点 O为中心作中心对称图形，再以点 A的对应点为中心逆时针方向旋转 90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移 4格，再以点 A的对应点为中心顺时针方向旋转 90°. 图 27.3-22 其中，能将△ABC变换成△PQR的是() A.①②B.①③C.②③D.①②③ 思路解析：本题考查图形变换的各种特征. 答案：D 11.(2010浙江模拟)如图 27.3-23，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图 案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________. 图 27.3-23 答案：(5，4)