第4章 图形与坐标（知识点汇总·浙教8上） 2页

第 4 章 图形与坐标 一、确定平面上物体的位置 1、有序实数对：有顺序的两个数 a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作  a b， ． 【注意】当 a b 时，  a b， 和  b a， 是不同的两个有序实数对． 2、首先把物体所在的平面分成若干列和若干行，然后用列数和行数组成一个有序数对，表示平面上物体的位置． 3、方位角：从某个参照点看物体，视线与正北（或正南）方向射线的夹角称为方位角． 4、首先在平面内确定一个点作为参照点，然后用由此点测得的物体的方位角和物体到此点的距离来表示该物体的 位置． 二、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系：在平面内有两条公互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫 做横轴或 x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或 y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做 坐标原点； x 轴和 y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面． 2、象限：x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三 象限，第四象限． 【注意】①两条坐标轴不属于任何一个象限． ②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 3、点的坐标 对于坐标平面内的一点 A ，过点 A 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a 、b 分别叫做点 A 的 横坐标和纵坐标，有序实数对  a b， 叫做点 A 的坐标，记作 A  a b， ． 【注意】①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． ②横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来． 4、坐标平面内特殊点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征 点  P x y， 在第一象限  0 0x y ， ； 点  P x y， 在第二象限  0 0x y ， ； 点  P x y， 在第三象限  0 0x y ， ； 点  P x y， 在第四象限  0 0x y ， ． （2）坐标轴上点的坐标特征 点  P x y， 在 x 轴上  0y  ， x 为任意实数； 点  P x y， 在 y 轴上  0x  ， y 为任意实数； 点  P x y， 即在 x 轴上，又在 y 轴上  0 0x y ， ，即点 P 的坐标为  0 0， ． （3）两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 点  P x y， 在第一、三象限夹角的角平分线上  x y ； 点  P x y， 在第二、四象限夹角的角平分线上  0x y  ． （4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于 x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于 y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数． （5）坐标平面内对称点的坐标特征 点  P a b， 关于 x 轴的对称点是  P a b ， ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点  P a b， 关于 y 轴的对称点是  P a b  ， ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点  P a b， 关于坐标原点的对称点是  P a b  ， ，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点  P a b， 关于点  Q m n， 的对称点是  2 2M m a n b ， ． 5、用坐标表示距离 （1）点  P x y， 到 x 轴的距离是 y ；点 ( , )P x y 到直线 y m 的距离是 y m ； （2）点  P x y， 到 y 轴的距离是 x ；点 ( , )P x y 到直线 x n 的距离是 x n ； （3）点  P x y， 到原点的距离是 2 2x y ；点  1 1 1P x y， 到点  2 2 2P x y， 的距离 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )PP x x y y    【注意】特别地，当 1 2PP 平行于 x 轴时， 1 2 1 2PP x x  ；当 1 2PP 平行于 y 轴时， 1 2 1 2PP y y  ． 三、坐标与图形的位置 1、利用平面直角坐标系，既可以表示图形的位置，也可以描述图形的形状． 2、建立平面直角坐标系的方法很多，在不同的平面直角坐标系中，同一个图形的顶点坐标也不同，应根据具体情 况建立适当的平面直角坐标系． 四、坐标与图形的变化 1、点的平移 将点  x y， 向右（或向左）平移 a 个单位可得对应点  x a y ， 或 x a y ， ； 将点  x y， 向上（或向下）平移 b 个单位，可得对应点  x y b， 或  x y b， ． 2、关于 x 轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴成轴对称的两个图形， 各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 3、将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘 k（或  1 1kk  ），所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 k 倍（或 缩小到原来的  1 1kk  ），且连接各对应顶点的直线相交于一点．