高考专题复习二次求导教师 9页

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2021-05-22 发布

高考专题复习二次求导教师

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‎ 高考专题：二次求导例题1、已知函数f(x)＝ln x－.‎ ‎(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；‎ ‎(2)若f(x)0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ ‎(2)∵f(x)0，∴a>xln x－x3.‎ 令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，‎ h′(x)＝－6x＝∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，‎ ‎∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 当a<0时，f′(x)＝，由f′(x)>0得0－.‎ ‎∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．‎ ‎(2)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x＋x，‎ 要证x∈[1，2]时，f(x)－3<成立，只需证xln x＋x2－3x－1<0在x∈[1，2]时恒成立．‎ 令g(x)＝xln x＋x2－3x－1，则g′(x)＝ln x＋2x－2，‎ 设h(x)＝ln x＋2x－2，则h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上单调递增，‎ ‎∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，‎ 即0≤g′(x)≤ln 2＋2，∴g(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln 2－3<0，‎ ‎∴当x∈[1，2]时，xln x＋x2－3x－1<0恒成立，即原命题得证．‎ 例题3、解：(1) ∵，. ∵与直线垂直，∴，∴ . ‎ ‎（2）由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故所求的最小值是 ‎ 例题4、（1）时，‎ 由得得故的减区间为增区间为 ‎ ‎（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时，令则再令 ‎ 于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 ‎ ‎（3），当时，，为增函数当时，，为减函数 ‎ 函数在上的值域为当时，不合题意当时，‎ 故① 此时，当变化时，，的变化情况如下 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 最小值 ‎↗‎ 时，，‎ 任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即 ②‎ 即 ③ ‎ 令 ‎ 令得，当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 ‎ 由③解得 ④，由①④ 当时对任意，在上存在两个不同的使成立强化训练1、解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① ‎ ‎ ，∴② ‎ ‎①②联立，解得∴ ‎ ‎（Ⅱ），∴在上恒成立；‎ 即在恒成立；设，，∴只需证对于任意的有 ‎ 设，‎ ‎1）当，即时，，∴‎ 在单调递增，∴ ‎ ‎2）当，即时，设是方程的两根且由，可知，分析题意可知当时对任意有；‎ ‎∴，∴ 综上分析，实数的最小值为. ‎ ‎（Ⅲ）令，有即在恒成立-‎ 令，得 ‎ ‎∴‎ ‎，∴原不等式得证. ‎ 强化训练2、【解析】：（Ⅰ）故在递减 …3分 ‎ （Ⅱ）记………5分 ‎ 再令在上递增。‎ ‎ ，从而故在上也单调递增 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知：恒成立，即 ‎ 令则 ………10分，， … 叠加得：‎ ‎ ‎

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