2018届二轮复习（理）专题三　数列第2讲课件（全国通用） 41页

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 第2讲　数列的求和及综合应用 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式 出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列 的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列 与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 2.(2017·山东卷)已知{xn}是各项均为正数的 等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次 连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋ 1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线 与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域 的面积Tn. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 考 点 整 合 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出 数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达 式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题 的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准 确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体， 考查最值问题、不等关系或恒成立问题. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 热点一　数列的求和问题 命题角度1　分组转化求和 【例1－1】 (2017·石家庄三模)已知等差数列{an}的首项a1＝ 2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1＝1，且a2＝b3，S3 ＝6b2，n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足cn＝bn＋(－1)nan，记数列{cn}的前n项和为 Tn，求Tn. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 探究提高　1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化 思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和. 在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论. 最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正 号、负号分组. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 命题角度2　裂项相消法求和 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 探究提高　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两 项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注 意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩 第几项，后边就剩倒数第几项. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 命题角度3　错位相减求和 【例1－3】 (2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3 ＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*). 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，② 联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2. 所以{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有 Tn＝ 4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n， 2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－ 2)×2n＋1， 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 探究提高　1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等 比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法 求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后 作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项 对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 【训练2】 (2017·衡阳模拟)已知等差数列{an}满足：an＋ 1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后 成等比数列，且an＋2log2bn＝－1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 热点二　an与Sn的关系问题 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 探究提高　1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是： 一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求 其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之 间的关系，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比 数列. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 (1)证明　∵a1＝3，且Sn＝an＋1＋2n－3，n∈N*，① 当n≥2时，Sn－1＝an＋2n－5，② ①－②得：an＝an＋1－an＋2， 整理可得：an＋1－2＝2(an－2)， 又当n＝1时，S1＝a2＋2－3，所以a2＝4， 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 热点三　数列与函数、不等式的综合问题 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 探究提高　1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是 一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)， 在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求 和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 1.错位相减法的关注点 (1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项得到 的数列{an·bn}求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{bn}的公比.②把两个和的形 式错位相减.③整理结果形式. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华