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- 2021-05-22 发布
专题10.6 二项分布及其应用
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
二项分布及其应用
理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解两点分布，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能进行简单的应用.
1.考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
2.考查条件概率、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用.
3.备考重点：
(1) 掌握取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
(2) 掌握二项分布、n 次独立重复试验的模型及其应用计算方法.
【知识清单】
1. 二项分布
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.
在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.
(2)条件概率具有的性质：
①；
② 如果和是两互斥事件，则．
2．相互独立事件
(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．
(2)若与相互独立，则，
．
(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
(4)若，则与相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布
在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．
对点练习：
1.如果，当且取得最大值时， 的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
2.设某射手每次射击打中目标的概率为，现在连续射击４次，求击中目标的次数ξ的概率分布列为 ．
【答案】
ξ
0
1
2
3
4
P
【解析】击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4.
当ξ=0时，，当ξ=1时，，
当ξ=2时，，当ξ=3时，，
当ξ=4时，，所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
【考点深度剖析】
二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题．
【重点难点突破】
考点 二项分布及应用
【1-1】已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由二项分布可知 ，选C.
【1-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【1-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项分布的期望和方差得，解的
【1-4】甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是，则甲最后获胜的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】甲、乙再下2盘甲胜的概率为×＝；甲、乙再下3盘甲胜的概率为2×××＝；甲、乙再下4盘甲胜的概率为3×＝，所以甲最后获胜的概率为＋＋＝，选B.
【1-5】【浙江省宁波市北仑中学】
在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。
⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为____________；
⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为_________．
【答案】
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2
（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响，
由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且 ,
或．
【领悟技法】
1. 条件概率的求法
(1)定义法：先求和，再由，求；
(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.
2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
3. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：
(1) 、中至少有一个发生的事件为；
(2) 、都发生的事件为；
(3) 、都不发生的事件为；
(4) 、恰有一个发生的事件为；
(5) 、至多一个发生的事件为.
【触类旁通】
【变式一】【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。
【答案】
【变式二】【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【解析】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，
则有 （1）
第20题解答图1
第20题解答图2
第20题解答图3
目标函数为 ．
最大获利．
故最大获利的分布列为
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
【易错试题常警惕】
易错典例：某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
易错分析：
解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误．
温馨提醒： 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况. 要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.
【学科素养提升之思想方法篇】
对立统一，峰回路转——正难则反
正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.
具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.
【典例】【2017届贵州省铜仁市第四中学高三适应性测试】医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响．
（Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；
（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
试题解析：（Ⅰ）三种药剂中恰有一种能控制指标的概率为
；
（Ⅱ）∵有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为
，有治疗效果的概率为，
∴三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，
即，
∵的可能取得为，
∴，即
，
，
，
故的分布列为
0
1
2
3
0.343
0.441
0.189
0.027