2019届二轮复习　空间几何体的表面积与体积课件（40张）（全国通用） 40页

第 2 节　空间几何体的表面积与体积 最新考纲　 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 1. 多面体的表 ( 侧 ) 面积 多面体 的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和 . 知 识 梳 理 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 ＝ _______ S 圆锥侧 ＝ _____ S 圆台侧 ＝ __________ 2 π rl π rl π ( r 1 ＋ r 2 ) l 3. 空间几何体的表面积与体积公式 S 底 h 4 π R 2 诊 断 自 测 解析　 (1) 锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一 ， 故不正确 . (2) 球的体积之比等于半径比的立方 ， 故不正确 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 解析 　由题意 ，得 S 表 ＝π r 2 ＋π rl ＝π r 2 ＋π r · 2 r ＝ 3 π r 2 ＝ 12 π ， 解得 r 2 ＝ 4 ， 所以 r ＝ 2(cm). 答案 　 B 答案 　 A 答案　 B 5. (2018· 天津河西区质检 ) 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示 ( 单位： m) ，则该四棱锥的体积为 ________m 3 . 解析 　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m ，高为 1 m 的平行四边形 ， 四棱锥的高为 3 m. 答案 　 2 考点一　空间几何体的表面积 【例 1 】 (1) (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) A.20 π B.24 π C.28 π D.32 π (2) (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图 为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( 　　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 解析　 (1) 几何体是圆锥与圆柱的组合体 ， 设圆柱底面圆半径为 r ， 周长为 c ， 圆锥母线长为 l ， 圆柱高为 h . 由三视图知 r ＝ 2 ， c ＝ 2 π r ＝ 4 π ， h ＝ 4. 故该几何体的表面积 S 表 ＝ 答案　 (1)C 　 (2)B 规律方法　 1. 由几何体的三视图求其表面积： (1) 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小 .(2) 还原几何体的直观图 ， 套用相应的面积公式 . 2 . (1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 【训练 1 】 (1) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 ( 　　 ) A.17 π B.18 π C.20 π D.28 π 解析 　 ( 1) 由三视图知 ， 该几何体是一个直四棱柱 ，上、下底面为直角梯形，如图所示 . 答案 　 (1)B 　 (2)A (2) (2016· 山东卷 ) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示 . 则该几何体的体积为 ( 　　 ) 又 ∵ 平面 BB 1 C 1 C ⊥ 平面 ABC ， AD ⊥ BC ， AD ⊂ 平面 ABC ， 由面面垂直的性质定理可得 AD ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ， 即 AD 为三棱锥 A － B 1 DC 1 的底面 B 1 DC 1 上的高 ， 答案 　 (1)C 　 (2)C 规律方法　 1. 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法 ， 转换原则是其高易求 ， 底面放在已知几何体的某一面上 . 2 . 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想 ， 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . 3 . 若以三视图的形式给出几何体 ， 则应先根据三视图得到几何体的直观图 ， 然后根据条件求解 . 【训练 2 】 (1) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 ，则正视图中的 x 的值是 ( 　　 ) (2) (2018· 郑州质检 ) 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ________. (2) 由题可知 ， ∵ 三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形 ， 由正视图可得如右俯视图 ， 且三棱锥高为 h ＝ 1 ， 解析 　由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 得 AC ＝ 10. 要使球的体积 V 最大 ， 则球与直三棱柱的部分面相切 ， 若球与三个侧面相切 ， 设底面 △ ABC 的内切圆的半径为 r . 2 r ＝ 4 ＞ 3 ， 不合题意 . 球与三棱柱的上、下底面相切时 ， 球的半径 R 最大 . 答案 　 B 【迁移探究】 若本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，求球 O 的表面积 . 解 　将直三棱柱补形为长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 ， 则 球 O 是长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 的外接球 . ∴ 体对角线 BC 1 的长为球 O 的直径 . 故 S 球 ＝ 4 π R 2 ＝ 169 π . 规律方法　 1. 与球有关的组合体问题 ， 一种是内切 ， 一种是外接 . 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题 ， 球与多面体的组合 ，通过多面体的一条侧棱和 球心 ，或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题 . 2 . 若球面上四点 P ， A ， B ， C 中 PA ， PB ， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直 ， 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 . 【训练 3 】 (1) (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S － ABC 的体积为 9. 则球 O 的表面积为 ________. ( 2) (2018· 佛山一中月考 ) 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90 °， C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O － ABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 ( 　　 ) A.36 π B.64 π C.144 π D.256 π 解析　 (1 ) 如 图 ， 连接 OA ， OB ， 因为 SA ＝ AC ， SB ＝ BC ， 所以 OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC . 因为平面 SAC ⊥ 平面 SBC ， 平面 SAC ∩ 平面 SBC ＝ SC ， 且 OA ⊂ 平面 SAC ， 所以 OA ⊥ 平面 SBC . 设球 O 的半径为 r ， 则 OA ＝ OB ＝ r ， SC ＝ 2 r ， 答案　 (1)36 π　 (2)C