2019届二轮复习计数原理课件（45张）（全国通用） 45页

　计数原理 考纲下载 1. 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理 . 2 . 理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题 . 3 . 能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质 . 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1. 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方法， … ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 . 2. 分步乘法计数原理 完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， … ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N ＝ 种 不同的方法 . m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n m 1 × m 2 ×…× m n 3. 排列数与组合数公式及性质   排列与排列数 组合与组合数 公式 排列数 公式 ＝ n ( n － 1)( n － 2 ) … ＝ 组合数 公式 ＝ ＝ ＝ ( n － m ＋ 1) 性质 当 m ＝ n 时， 为全排列； ＝ n ！； 0 ！＝ __ ； ＝ ； ＝ ______________ 备注 n ， m ∈ N * ，且 m ≤ n 1 4. 二项式定理 (1) 二项式定理的内容 ： ( a ＋ b ) n ＝ . (3) 二项式系数的性质： ① 与首末两端等距离的两个二项式系数相等； 题型探究 命题角度 1 　分类讨论思想 例 1 　 车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳工， 4 名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工， 4 名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 类型一　数学思想方法在求解计数问题中的应用 解答 解　 方法一 　设 A ， B 代表 2 位老师傅 . 所以共有 75 ＋ 100 ＋ 10 ＝ 185( 种 ). 所以共有 35 ＋ 120 ＋ 30 ＝ 185( 种 ). 反思与感悟 　解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件： ① 类与类之间要互斥 ( 保证不重复 ) ； ② 总数要完备 ( 保证不遗漏 ). 跟踪训练 1 　从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中，任取 3 个数字组成无重复数字的三位数，其中若有 1 和 3 时， 3 必须排在 1 的前面；若只有 1 和 3 中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有 _____ 个 .( 用数字作答 ) 解析 　 1 与 3 是特殊元素，以此为分类标准进行分类 . 答案 解析 60 例 2 　设集合 S ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，集合 A ＝ { a 1 ， a 2 ， a 3 } 是 S 的子集，且 a 1 ， a 2 ， a 3 满足 a 1 < a 2 < a 3 ， a 3 － a 2 ≤ 6 ，那么满足条件的集合 A 的个数为 A.78 B.76 C.83 D.84 解析　 若从正面考虑，需分当 a 3 ＝ 9 时， a 2 可以取 8,7,6,5,4,3 ，共 6 类；当 a 3 ＝ 8 时， a 2 可以取 7,6,5,4,3,2 ，共 6 类； … 分类较多，而其对立面 a 3 － a 2 >6 包含的情况较少，当 a 3 ＝ 9 时， a 2 取 2 ， a 1 取 1 ，只有这一种情况，利用正难则反思想解决 . 集合 S 的含有三个元素的子集的个数 为 ＝ 84. 在这些含有三个元素的子集中能满足 a 1 < a 2 < a 3 且 a 3 － a 2 >6 的集合只有 {1,2,9} ，故满足题意的集合 A 的个数为 84 － 1 ＝ 83. √ 命题角度 2 　 “ 正难则反 ” 思想 答案 解析 反思与感悟　 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考 . 跟踪训练 2 　由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少 1 人 ( 且每人仅报一科 ) ，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有 _____ 种 . 答案 解析 30 ∴ 不同的参赛方案共有 36 － 6 ＝ 30( 种 ). 例 3 　在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目 . (1) 当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 类型二　排列与组合的综合应用 解答 根据分步乘法计数原理，一共有 5 040 × 24 ＝ 120 960( 种 ) 安排顺序 . (2) 当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解答 ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 ( 即图中 “×” 的位置 ) 这样相当于 7 个 “×” 选 4 个来排， 根据分步乘法计数原理，一共有 720 × 840 ＝ 604 800( 种 ) 安排顺序 . (3) 若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解答 但原来的节目已定好顺序，需要消除， 反思与感悟　 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合 . 对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列 . 对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏 . 在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净 . 跟踪训练 3 　在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为 “ 驼峰数 ” ，比如： “ 102 ”“ 546 ” 为驼峰数，由数字 1,2,3,4,5 这 5 个数字构成的无重复数字的 “ 驼峰数 ” 的十位上的数字之和为 _____. 答案 解析 30 所以所有的三位 “ 驼峰数 ” 的十位上的数字之和为 12 × 1 ＋ 6 × 2 ＋ 2 × 3 ＝ 30. 命题角度 1 　二项展开式的特定项问题 类型三　二项式定理及其应用 解答 于是有理项为 T 1 ＝ x 5 和 T 7 ＝ 13 440. 所以系数的绝对值最大的项为 T 8 ＝－ 15 360 . (2) 求展开式中系数绝对值最大的项； 解　 设第 k ＋ 1 项系数的绝对值最大，则 解答 又因为 k ∈ {1,2,3 ， … ， 9} ， 所以 k ＝ 7 ，当 k ＝ 7 时， T 8 ＝－ 15 360 ， 又因为当 k ＝ 0 时， T 1 ＝ x 5 ， 当 k ＝ 10 时， T 11 ＝ ( － 2) 10 ＝ 1 024 ， 解答 反思与感悟 　 (1) 确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素 . (2) 确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项 . (3) 求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数 . (4) 求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入 . (5) 确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质 . 跟踪训练 4 　已知 二项式 展开式 中各项系数之和是各项二项式系数之和的 16 倍 . (1) 求 n ； 解答 由题意得， 4 n ＝ 16·2 n ，所以 2 n ＝ 16 ， n ＝ 4. (2) 求展开式中二项式系数最大的项； 解答 ＝ ( － 1) k C5 4 － k · ， 展开式中二项式系数最大的项是第 3 项： (3) 求展开式中所有有理项 . 解答 所以展开式中所有有理项为 命题角度 2 　二项展开式的 “ 赋值 ” 问题 解　 ( x 2 － 3 x ＋ 2) 5 ＝ ( x － 1) 5 ( x － 2) 5 ， a 2 是展开式中 x 2 的系数， 解答 例 5 　 若 ( x 2 － 3 x ＋ 2) 5 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 10 x 10 . (1) 求 a 2 ； (2) 求 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ； 解　 令 x ＝ 1 ，代入已知式可得， a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ 0 ， 而令 x ＝ 0 ，得 a 0 ＝ 32 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝－ 32. 解答 (3) 求 ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 7 ＋ a 9 ) 2 . 解　 令 x ＝－ 1 可得， ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 ) － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 7 ＋ a 9 ) ＝ 6 5 ， 再由 ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 ) ＋ ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 7 ＋ a 9 ) ＝ 0 ， 把这两个等式相乘可得， ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 7 ＋ a 9 ) 2 ＝ 6 5 × 0 ＝ 0. 解答 反思与感悟　 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果 . 跟踪训练 5 　若 ( x 2 ＋ 1)( x － 3) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 2) ＋ a 2 ( x － 2) 2 ＋ a 3 ( x － 2) 3 ＋ … ＋ a 11 ( x － 2) 11 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 11 的值为 ____. 解析 　 令 x ＝ 2 ，得 a 0 ＝ (2 2 ＋ 1)(2 － 3) 9 ＝－ 5 ， 令 x ＝ 3 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 11 ＝ (3 2 ＋ 1)(3 － 3) 9 ＝ 0 ， 所以 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 11 ＝－ a 0 ＝ 5. 答案 解析 5 达标检测 1. 设 4 名学生报名参加同一时间安排的 3 项课外活动方案有 a 种，这 4 名学生在运动会上共同争夺 100 米、跳远、铅球 3 项比赛的冠军的可能结果有 b 种，则 ( a ， b ) 为 A.(3 4 ， 3 4 ) B .(4 3 ， 3 4 ) C.(3 4 ， 4 3 ) D. 解析　 由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有 3 种选择，根据分步乘法计数原理知 4 名学生共有 3 4 种选择，每项冠军有 4 种可能结果，根据分步乘法计数原理知 3 项冠军共有 4 3 种可能结果 . 故选 C. 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 2.5 名大人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有 1 2 3 4 5 √ 答案 解析 3. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展 . 某校高一新生中的五名同学打算参加 “ 春晖文学社 ” 、 “ 舞者轮滑俱乐部 ” 、 “ 篮球之家 ” 、 “ 围棋苑 ” 四个社团 . 若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加 “ 围棋苑 ” ，则不同的参加方法的种数为 A.72 B.108 C.180 D.216 √ 1 2 3 4 5 解析　 根据题意，分析可得，必有 2 人参加同一社团，首先分析甲，甲不参加 “ 围棋苑 ” ，则其有 3 种情况，再分析其他 4 人， 1 2 3 4 5 则除甲外的 4 人有 24 ＋ 36 ＝ 60( 种 ) 情况 ， 故 不同的参加方法的种数为 3 × 60 ＝ 180( 种 ) ，故选 C. 答案 解析 4.( x － 2 y ) 6 的展开式中， x 4 y 2 的系数为 A.15 B . － 15 C.60 D . － 60 所以 x 4 y 2 的系数为 60 ，故选 C. √ 1 2 3 4 5 答案 解析 5. 若 的 展开式的系数和为 1 ，二项式系数和为 128 ，则展开式中 x 2 的 系数 为 ________. 1 2 3 4 5 － 448 1 2 3 4 5 1. 排列与组合 (1) 排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的 . (2) 排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑： ① 元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素 . ② 位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置 . (3) 排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配 . 规律与方法 2. 二项式定理 (1) 与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式 . (2) 与通项 公式有关 ， 主要是求特定项 ， 比如常数项 、 有理项 、 x 的某次幂等 ， 此时要特别注意二项展开式中第 k ＋ 1 项的通项公式是 T k ＋ 1 ＝ a n － k b k ( k ＝ 0,1 ， … ， n ) ，其中二项式系数 是 ， 而 不是 ， 这是一个极易错点 . (3) 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法 .