【物理】2018届二轮复习多物体平衡及平衡中的临界、极值问题学案（全国通用） 10页

能力课　多物体平衡及平衡中的临界、极值问题 ‎　平衡中的连接体问题 ‎1．连接体 多体是指两个或者两个以上的物体组成的物体系统，中间可用绳、杆或弹簧连接或直接连接（连接体），也可以是几个物体叠加在一起（叠加体），一般靠摩擦力相互作用。‎ ‎2．内力和外力 当A、B视为整体时，A对B的作用力就属于内部力，受力分析时不用考虑；单独对B分析时，A对B的作用力就属于外力，受力分析时必须考虑。‎ ‎3．整体法与隔离法 ‎（1）当涉及整体与外界作用时，用整体法。‎ ‎（2）当涉及物体间的作用时，用隔离法。‎ ‎（3）整体法和隔离法选取的原则：先整体后隔离。‎ 角度1　轻绳（或轻杆或轻弹簧）连接体模型 （2017·厦门七校联考）如图1所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上。现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧。则平衡时两球的可能位置是下面的（　　）‎ 图1‎ 解析　用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg、水平向左的力F（甲受到的）、水平向右的力F ‎（乙受到的）和细线1的拉力，两水平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；再用隔离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg，水平向右的拉力F，细线2的拉力F2。要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜。‎ 答案　A 把乙球放在光滑的斜面上 如图所示，甲、乙两个质量相同的球用线连接，甲球用线挂在天花板上，乙球放在光滑斜面上，系统保持静止（线的质量不计），以下图示正确的是（　　）‎ 答案　B 改变两小球的受力情况 在【示例1】的图中如果作用在乙球上的力大小为F，作用在甲球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是（　　）‎ 解析　将甲、乙两个小球作为一个整体，受力分析如图所示，设上面的绳子与竖直方向的夹角为α，则根据平衡条件可得tan α＝，再单独研究乙球，设下面的绳子与竖直方向的夹角为β，根据平衡条件可得tan β＝，因此β＞α，因此甲球在竖直线的右侧，而乙球在竖直线的左侧，选项C正确。‎ 答案　C 如图2所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（　　）‎ 图2‎ A.∶4 B．4∶ C．1∶2 D．2∶1‎ 解析　把两个小球看成整体，分析受力，由平衡条件可得：FAsin 30°＝FC，‎ 又FA＝kxA，FC＝kxC，‎ 联立解得弹簧A、C的伸长量之比xA∶xC＝1∶sin 30°＝2∶1，选项D正确。‎ 答案　D 角度2　叠加连接体模型 （广东理综）（多选）如图3，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则（　　）‎ 图3‎ A．P向下滑动 B．P静止不动 C．P所受的合外力增大 D．P与斜面间的静摩擦力增大 解析　P在斜面上处于静止状态，设P的质量为M，斜面的倾角为θ，则有μ0Mgcos θ≥Mgsin θ，当加上一个质量为m的物体Q后，仍然有μ0（M＋m）gcos θ≥（M＋m）gsin θ，因此P仍处于静止状态，A项错误，B项正确；由于P处于静止状态，合外力为零，C项错误；由物体的平衡条件知，P与斜面间的静摩擦力由Mgsin θ变为（M＋m）gsin θ，D项正确。‎ 答案　BD 在竖直墙壁间有质量分别是m和2m的半圆球A和圆球B，其中B的球面光滑，半圆球A与左侧墙壁之间存在摩擦。两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力（g为重力加速度），则半圆球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为（　　）‎ 图4‎ A. B. C. D. 解析　以圆球B为研究对象，对圆球B进行受力分析如图甲所示。由平衡条件可得：N＝Fcos 30°，Fsin 30°＝2mg，所以：N＝2mg。以两球组成的整体为研究对象，其受力分析如图乙所示。由平衡条件有：f＝3mg，N1＝N，由题意知，整体恰好不滑动，故f＝μN1′（N1′与N1是一对相互作用力，N1′表示半圆球A对墙壁的压力），联立解得μ＝，选项A正确。‎ 答案　A ‎　平衡中的临界极值问题 ‎1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。‎ 常见的临界状态有：‎ ‎（1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）；‎ ‎（2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；‎ ‎（3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。‎ 研究的基本思维方法：假设推理法。‎ ‎2．极值问题 平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用图解法或解析法进行分析。‎ 角度1　平衡中的临界问题 如图5所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一根跨过动滑轮的细绳相连。现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉B物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　）‎ 图5‎ A. B. C. D. 解析　设绳中张力大小为F，对A应用平衡条件得Fcos 53°＝μ（mAg－Fsin 53°），对B应用平衡条件得Fcos 37°＝μ（mBg－Fsin 37°），联立以上两式解得＝，选项A正确。‎ 答案　A （2016·山西忻州一中等四校联考）质量均为m的完全相同物块A ‎、B用轻弹簧相连，置于带有挡板C的固定斜面上。斜面的倾角为θ，弹簧的劲度系数为k，摩擦不计。初始时A恰好静止。现用一沿斜面向上的力拉A，直到B刚要离开挡板C，则此过程中物块A的位移为（弹簧始终处于弹性限度内）（　　）‎ 图6‎ A. B. C. D. 解析　设刚开始时弹簧压缩量为x0，A对弹簧的压力 mgsin θ＝kx0①‎ B刚要离开挡板时，弹簧处于伸长状态，B对弹簧的拉力 mgsin θ＝kx1②‎ 所以物体A向上的位移x＝x1＋x0＝，故D正确。‎ 答案　D 角度2　平衡中的极值问题 （2013·课标全国卷Ⅱ，15）如图7所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）。由此可求出（　　）‎ 图7‎ A．物块的质量 B．斜面的倾角 C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块对斜面的正压力 解析　物块受与斜面平行的外力F 作用，而在斜面上静止，此时摩擦力的大小和方向将随F的变化而变化。设斜面倾角为θ，由平衡条件F1－mgsin θ－fmax＝0，F2－mgsin θ＋fmax＝0，解得fmax＝，故选项C正确；N＝mgcos θ，F1＋F2＝2mgsin θ，因m和θ均未知，所以不能求出物块的质量、斜面的倾角和物块对斜面的压力。‎ 答案　C （2017·山西临汾月考）（多选）如图8所示，一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A静止，则需对小球施加的力可能等于（　　）‎ 图8‎ A.mg B．mg C.mg D.mg 解析　以小球为研究对象进行受力分析，如图所示，当力F与细绳垂直时，所用的力最小。根据平衡条件得F的最小值为Fmin＝Gsin 30°＝mg，所以对小球施加的力F≥mg，故A、B正确。‎ 答案　AB 方法技巧 涉及极值的临界问题的三种解答方法 ‎（1）假设推理法 先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。（如示例3、变式3的求解方法就是假设法）‎ ‎（2）数学方法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。‎ ‎（如示例4的求解方法）‎ ‎（3）图解法 根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。（如变式4的求解方法）‎ ‎1．（2015·山东理综，16）如图9，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为（　　）‎ 图9‎ A. B. ‎ C. D. 解析　设水平作用力为F，对物体A、B整体：在水平方向上有F＝μ2（mA＋mB）g；隔离物体B：在竖直方向上有μ1F＝mBg；联立解得：＝，选项B正确。‎ 答案　B ‎2．（2017·湖北孝感联考）如图10所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部爬到a处，则下列说法正确的是（　　）‎ 图10‎ A．在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力 B．在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力 C．在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力 D．在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力 解析　由题意知，‎ 蚂蚁在半球形碗内爬行过程中受到竖直向下的重力、碗的支持力和摩擦力，设支持力方向与竖直方向的夹角为θ，蚂蚁的质量为m，因蚂蚁缓慢爬行，则由力的平衡条件知蚂蚁受到的支持力和摩擦力分别为N＝mgcos θ、f＝mgsin θ，由于θa＞θb，因此Na＜Nb，fa＞fb，即在a点碗对蚂蚁的支持力小于在b点的支持力，在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力，故选项A错误，B正确；碗对蚂蚁的作用力是支持力和摩擦力的合力，与重力大小相等，方向相反，即在a点碗对蚂蚁的作用力等于在b点的作用力，在a点蚂蚁受到的合力等于在b点受到的合力，皆为0，故选项C、D错误。‎ 答案　B ‎3．（2016·湖南长沙一模，16）如图11所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小盒b置于斜面上，通过跨过光滑定滑轮的细绳与物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，现向b盒内缓慢加入适量砂粒，a、b、c始终处于静止状态，下列说法中正确的是（　　）‎ 图11‎ A．b对c的摩擦力可能先减小后增大 B．地面对c的支持力可能不变 C．c对地面的摩擦力方向始终向左 D．弹簧的弹力可能增大 解析　当向b盒内缓慢加入砂粒的过程中，a、b、c一直处于静止状态，对a分析，弹簧弹力不变，a的重力不变，则细绳拉力不变；对b、c整体分析知，其受方向始终向左的摩擦力，故c对地面的摩擦力方向始终向右，由于b、c整体质量增大，则地面对c的支持力增大，B、C、D错；如果开始时，b所受c的摩擦力沿斜面向上，则对b分析可知，随着砂粒的加入b对c的摩擦力可能先减小后增大，A对。‎ 答案　A ‎4．如图12所示，粗糙斜面P固定在水平面上，斜面倾角为θ，在斜面上有一个小滑块Q。若给Q一个水平向右的推力F，无论推力为多大，Q 都不会向上滑动，则P、Q间的动摩擦因数（　　）‎ 图12‎ A．不小于 B．等于 C．等于tan θ D．不小于tan θ 解析　对Q，沿斜面向上的合外力F′＝Fcos θ－μ（Fsin θ＋mgcos θ）－mgsin θ，整理为F′＝（cos θ－μsin θ）F－（μcos θ＋sin θ）mg，如果无论推力F为多大时，Q都不会向上滑动，即F→∞，则只有当F的系数cos θ－μsin θ≤0时，F′才不能大于0，即合外力不可能向上，滑块不可能向上滑动，解得μ≥，所以选项A正确。‎ 答案　A