- 1.02 MB
- 2021-05-22 发布
专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题
考纲要求:
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
基础知识回顾:
1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝＝.
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(±β)＝sin cos β ± cos sin β；cos(∓β)＝cos cos β ± sin sin β；
tan(±β)＝.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2＝2sin cos ；cos 2＝cos2－sin2＝2cos2－1
＝1－2sin2；tan 2＝.1＋sin2＝(sin＋cos)2,1－sin2＝(sin－cos)2.
4．辅助角公式：，其中sin＝，cos＝.
5.正弦定理及变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
6．余弦定理及变形：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．
变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
应用举例:
类型一、向量与三角函数相结合
【例1】【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】
已知向量a=（cosx,sinx）, , .
（1）若a∥b，求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值
【答案】（1）（2）时， 取到最大值3； 时， 取到最小值.
（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时， 取到最大值3；
当，即时， 取到最小值.
点睛:（1）向量平行： ， ， ；（2）向量垂直： ；（3）向量加减乘： ．
【例2】【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】
已知向量， ， ．
（1）当时，求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】(1) ；(2) ．
类型二、向量与解三角形相结合
【例3】【湖北省部分重点中学2018届高三起点考试】已知，其中，，．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析; （1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间．
（2）根据条件先求出A的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．
【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】的内角所对的边分别为，已知向量，，.
（1）若，，求的面积；
（2）求的值.
【答案】(1)；(2)2.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；
（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．
试题解析：
（1）∵
∴∵∴
由得，
∴∴
（2）
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
方法、规律归纳:
1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：
第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；
第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；
第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；
第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．
实战演练:
1．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）当时， (为实数），且，试求的最小值.
【答案】(1) 或;(2) .
2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】在中，角, , 所对的边为, ，
,，
， ，若
（1）求函数的图象的对称点；
（2）若,且的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）20.
（2）
∴.
3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】已知向量， ，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；
（2）由利用两角差的正弦展开即可得解.
试题解析：
4．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】已知向量.
（1）若，求的值；
（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
【答案】（1）；（2）时； 时
【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到 ， ，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得，再利用余弦函数的性质即可求出结果.
试题解析：（1），
即.
（2）
当时，即时；
当，即时.
5．【江西省宜春昌黎实验学校2018届高三第二次段考】在△中，角所对的边分别为，且， .
(Ⅰ) 求角的大小；
(Ⅱ) 若，求证：△为等边三角形.
【答案】(1) ；(2)见解析.
因为，所以，
解得或． 因为，所以．
(Ⅱ)在△ABC中， ，且，
所以， ①
又，所以，
代入①整理得，解得．
所以，于是，
即为等边三角形．
点睛：利用向量的数量积转化为关于的一元二次方程，继而求出角的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状。
6．【江西省南昌市莲塘一中2018届高三10月月考】已知向量， ，函数， .
（1）若的最小值为-1，求实数的值；
（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
（2）令，即，
∴或，∵ ， 有四个不同的零点，
∴方程和在上共有四个不同的实根，
∴∴∴.
7．【陕西省渭南市尚德中学2018届高三上学期第二次月考】已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）；（2）3，.
8．【湖北省黄冈市2018届高三9月质量检测】已知向量， .
（1）若，求的值；
（2）设函数，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调增区间.
【答案】（1）；（2）kZ.
【解析】试题分析：
（1）先考察向量平行，得到==,然后
利用其次弦化切，得到答案。（2）由数量级公式和辅助角公式可知f(x)= p =+=2，根据移动法则得到g (x)= 2，g (－x)= 2，从而得到单调增区间。
试题解析：
（1）∵,∴==,
∴－cos2x===
（2）f(x)= p =+=2,由题意可得
g (x)= 2, g (－x)= 2，由2x+ ,
－x ,
∴单调递增区间为kZ.
9．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】已知向量，.
（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若向量满足，，求的值.
【答案】（1）（2）
所以.因为，所以.
所以，从而.
10．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知向量，，函数的最大值为.
(1)求的大小；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到函数的图象，作出函数在的图象．
【答案】(1)；(2)图象见解析.