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- 2021-05-22 发布
母题5 数式的大小比较
【母题原题1】【2018天津，理5】
已知，，，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果．
试题解析：由题意结合对数函数的性质可知：
，据此可得：，故选D．
【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【母题原题2】【2017天津，理6】
已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．学 ，
【母题原题3】【2015天津，理7】
【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵函数为偶函数，∴，即，∴
，∴，故选C．
【考点定位】1．函数奇偶性；2．指数式、对数式的运算．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出的值，计算出相应的的值比较大小即可，是中档题．其中计算的值时易错．
【母题原题4】【2013天津，理8】
设，则( )
A． B． C． D．
【答案】：D
【名师点睛】本题主要考查应用对数函数的单调性、对数的换底公式及不等式的基本性质；本题属于基础题，解决本题的关健在于将要比较的两个对数化为同底的对数来进行比较，再者就是注意对数值与0和1的大小关系；注意不等式的基本性质的运用．
【命题意图】 高考对本部分内容的考查指数式、对数式、幂式的大小比较，以能力为主，重点考查函数的单调性及函数图象．
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一考查函数的单调性，二考查函数的图象．
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步： 研究函数的奇偶性和单调性：本题函数为是奇函数且在上是增函数，则函数 为上的偶函数，且在上为增函数．
第二步： 比较自变量的大小：由于在上为增函数，∵，则，而，则
第三步：根据函数的单调性比较大小：为偶函数，，由于函数在上为增函数，则，，即．
【方法总结】
一、基本思路
1．比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．学
2．若题中所给的对数式的底数相同时，可以考虑利用对数函数的单调性来比较大小，在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，当对数底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小．学+
3．若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，．在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小．
4．比较复杂的数与式大小的比较有时可通过作差或作上比较大小
二、技巧和方法
1．如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2．要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0，1）的大小关系，一作图，自明了
3．比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，∴要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法．
4．常用的指对数变换公式：
（1）；（2） ；
（3）；
（4）换底公式：；进而有两个推论：（令）； ．
1．【2018年天津市南开中学高三模拟】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果．
详解：∵，，，∴，故选A．
【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务．
2．【天津市部分区2018年高三质量调查（二）】设函数是定义在上的奇函数，且当时，
，记，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】A
∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选A．
【名师点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
3．【天津市十二校2018年高三二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据函数的单调性可得，故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题．解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用． -
4．【2018天津市滨海新区七所重点学校高三联考】若，，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，选D．
5．【2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考数学理（一）】已知定义在上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若 则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴．∵当时，
单调递减，∴，故选A．
6．【2018天津市红桥区上学期期末考试】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，．，∴．故选B．
【名师点睛】比较指对幂形式的数大小的常用方法：学
（1）利用指数函数的单调性： ，当时函数递增，当时函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当时函数递增，当时函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等．
7．【2018天津上学期七校联期中联考】三个数，，的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，∵．故选．
【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
8．【2018年全国卷Ⅲ理数】设，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：
，即，又即，故选B．
【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
9．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】设，且，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．学……
10．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：先利用数形结合得到，判断函数的单调性，得到函数在为增函数，从而可得结果．
详解：时，，∴函数，在为增函数，
通过平移可得，在为增函数，作出与的图象，，可得，故，故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
11．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】设正实数满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
12．【福建省平和一中、南靖一中等四校下学期第二次(5月)联考】已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a，b，c的范围，然后比较其大小即可．
详解：由指数函数的性质可知：，，，
且，，据此可知：，综上可得：．故选D．
【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
13．【山东省日照市2018届高三校际联考】若，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行．
14．【江苏省溧中、扬中、镇江一中、江都中学、句容中学下学期期初五校联考】已知，，，则这三个数从大到小的顺序是______．
【答案】
【解析】，则这三个数从大到小的顺序是，故答案为．学/ //
【 方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题．解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用．
15．【广西防城港市2018届高中毕业班1月模拟】已知，，，则的大小关系为__________．
【答案】
【解析】由题意结合指数、对数的性质可知： ，，
，
则： ．
16．【北京市北京十一学校高三上学期期末】已知，，，则，，按从小到大的顺序排序为___________．
【答案】
【解析】
17．【北京市石景山区2018届高三第一学期期末考试】若，，，则的大小关系为_______．
18．【湖北省武汉市武昌区2018届高三元月调研考试】设，，，则，，的大小关系是__________．
【答案】
【解析】，而，故．