【数学】2019届文科一轮复习人教A版10-1随机事件的概率教案 9页

第章　概　率 第一节　随机事件的概率 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎(对应学生用书第146页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．事件的相关概念 ‎2．频数、频率和概率 ‎ (1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎ (2)概率：对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅‎ 且A∪B＝Ω ‎4. 概率的几个基本性质 ‎ (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎ (2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎ (3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎ (4)互斥事件概率的加法公式．‎ ‎ ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎ ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件．‎ ‎2．不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎ (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎ (3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎ (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③‎ 至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ ‎ 在上述事件中，是对立事件的为(　　)‎ ‎ A．①　　　　 B．②　　　　‎ ‎ C．③　　　　 D．④‎ ‎ B　[至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]‎ ‎3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D. ‎ A　[事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.]‎ ‎4．(2018·天津模拟)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎ 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．‎ ‎ 0．74　[由表格可得至少有2人排队的概率P＝1－0.1－0.16＝0.74.]‎ ‎ 5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号) 【导学号：79170346】‎ ‎ ①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶．‎ ‎④‎ ‎(对应学生用书第147页)‎ 随机事件间的关系 ‎　(2018·深圳模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ ‎ A．①　　　　 B．②④　　　　‎ ‎ C．③　　　　 D．①③‎ ‎ C　[从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．‎ ‎ 又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]‎ ‎ [规律方法]　　1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ ‎ 2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．‎ ‎ (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．‎ ‎ (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．‎ ‎[变式训练1]　口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．‎ ‎ ①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．‎ ‎ ①④　[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，④正确．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正确．]‎ 随机事件的频率与概率 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃‎ ‎)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎ (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎ (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎ [解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为‎0.6. 3‎分 ‎ (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ ‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900； 5分 ‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ ‎ 7分 ‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 9分 ‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，－100. 10分 ‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为‎0.8. 12‎分 ‎ [规律方法]　　1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．‎ ‎ 2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ ‎[变式训练2]　(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a ‎(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ ‎ 【导学号：79170347】‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保　费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a ‎ 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎ (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎ (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；‎ ‎ (3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ ‎ [解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为‎0.55. 4‎分 ‎ (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎ 8分 ‎ (3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎ 10分 ‎ 调查的200名续保人的平均保费为‎0.85a×0.30＋a×0.25＋‎1.25a×0.15＋‎1.5a×0.15＋‎1.75a×0.10＋‎2a×0.05＝1.192 ‎5A．‎ ‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 ‎5A． 12分 互斥事件与对立事件的概率 ‎　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎ (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎ (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．‎ ‎ [解]　(1)由题意，得 ‎ 解得x＝15，且y＝20. 2分 ‎ 该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．‎ ‎ 又＝＝1.9，‎ ‎ ∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟. 5分 ‎ (2)设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．” 7分 ‎ 将频率视为概率，得 ‎ P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ ‎ ∵B，C互斥，且＝B＋C，‎ ‎ ∴P()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 10分 ‎ 因此P(A)＝1－P()＝1－＝，‎ ‎ ∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为‎0.7. 12‎分 ‎ [规律方法]　　‎ ‎1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．‎ ‎ (2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．‎ ‎ 2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．‎ ‎[变式训练3]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎ (1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎ (2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎ (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎ [解]　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， 2分 ‎ P(C)＝＝.‎ ‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，. 5分 ‎ (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C．‎ ‎ ∵A，B，C两两互斥，‎ ‎ ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎ ＝＝， 8分 ‎ 故1张奖券的中奖概率约为.‎ ‎ (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎ ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，‎ ‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 12分