人教a版数学【选修1-1】作业：第三章《导数及其应用》章末检测（a）（含答案） 8页

第三章 章末检测 (A) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题 12小题，每小题 5分，共 60分) 1．已知曲线 y＝x2＋2x－2在点 M处的切线与 x轴平行，则点 M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 2．函数 y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( ) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 3．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在 x＝－3时取得极值，则 a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知函数 f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数 a 的取值范围为( ) A．a>1 3 B．a≥1 3 C．a<1 3 且 a≠0 D．a≤1 3 且 a≠0 5．函数 y＝x2－4x＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是( ) A．f(5)，f(0) B．f(2)，f(0) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(2) 6．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn，则 log2 010x1＋ log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为( ) A．－log2 0102 009 B．－1 C．(log2 0102 009)－1 D．1 7．方程－x3＋x2＋x－2＝0的根的分布情况是( ) A．一个根，在（－∞，－ 1 3 ）内 B．两个根，分别在（－∞，－ 1 3 ）、(0，＋∞)内 C．三个根，分别在（－∞，－ 1 3 ）、（－ 1 3 ，0）、(1，＋∞)内 D．三个根，分别在（－∞，－ 1 3 ）、(0,1)、(1，＋∞)内 8．函数 f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 9．如果圆柱的轴截面周长为定值 4，则圆柱体积的最大值为( ) A. 8 27 π B.16 27 π C.8 9 π D.16 9 π 10. 已知 f(x)的导函数 f′(x)图象如图所示，那么 f(x)的图象最有可能是图中的( ) 11．函数 f(x)＝ln x－x2的极值情况为( ) A．无极值 B．有极小值，无极大值 C．有极大值，无极小值 D．不确定 12．设斜率为 2的直线 l过抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( ) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 13．已知函数 f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 14．f′(x)是 f(x)＝1 3 x3＋2x＋1的导函数，则 f′(－1)的值是________． 15．在平面直角坐标系 xOy中，点 P在曲线 C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内， 已知曲线 C在点 P处的切线斜率为 2，则点 P的坐标为 ________________________________________________________________________． 16．设 x＝－2 与 x＝4 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数 a－b的值为 ________． 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分) 17．(10分)当 x∈（0，π 2 ）时，证明：tan x>x. 18．(12分)某物流公司购买了一块长 AM＝30米，宽 AN＝20米的矩形地块 AMPN，规 划建设占地如图中矩形 ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C在地块对角 线 MN上，B、D分别在边 AM、AN上，假设 AB长度为 x米．若规划建设的仓库是高度与 AB的长相同的长方体建筑，问 AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略 不计) 19.(12分)已知直线 l1为曲线 y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一 条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l2的方程； (2)求由直线 l1、l2及 x轴所围成的三角形的面积． 20．(12分)要设计一容积为 V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造 价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径 r和高 h之比为何值时 造价最省？ 21.(12分)若函数 f(x)＝ax3－bx＋4，当 x＝2时，函数 f(x)有极值－ 4 3 . (1)求函数的解析式； (2)若方程 f(x)＝k有 3个不同的根，求实数 k的取值范围． 22．(12分)已知函数 f(x)＝ax3－3 2 x2＋1(x∈R)，其中 a>0. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若在区间[－1 2 ， 1 2 ]上，f(x)>0恒成立，求 a的取值范围． 第三章 导数及其应用(A) 答案 1．B [∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)．] 2．A [y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令 y′<0得 x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．] 3．D [f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由 f(x)在 x＝－3时取得极值， 即 f′(－3)＝0，即 27－6a＋3＝0，∴a＝5.] 4．C [f′(x)＝3ax2－2x＋1， 函数 f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值， 等价于 f′(x)＝0有两个不等实根， 即 3a≠0， Δ＝4－12a>0. 解得 a<1 3 且 a≠0.] 5．D [y′＝2(x－2)．x＝2时，y′＝0；x<2时，y′<0；x>2时，y′>0.∴x＝2是极小值 点，f(2)＝－3；又 f(0)＝1，f(5)＝6，故 f(5)是最大值，f(2)是最小值．] 6．B [∵y′|x＝1＝n＋1， ∴切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)， 令 y＝0，得 x＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ，即 xn＝ n n＋1 . 所以 log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009 ＝log2 010(x1·x2·…·x2009) ＝log2 010(1 2 ·2 3 ·…·2 009 2 010 )＝log2 010 1 2 010 ＝－1.] 7．A [令 f(x)＝－x3＋x2＋x－2，则 f′(x)＝－3x2＋2x＋1，令－3x2＋2x＋1＝0， 得 x＝1，或 x＝－ 1 3 ，故函数 f(x)在 x＝1 和 x＝－ 1 3 处分别取得极大值 f(1)＝－1 和极小 值 f － 1 3 ＝－ 59 27 ，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与 x轴只有一个交点，即方程只 有一个根，且在 －∞，－ 1 3 内．] 8．A 9．A [设圆柱横截面圆的半径为 R，圆柱的高为 h，则 2R＋h＝2. ∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3， ∴V′＝2πR(2－3R)＝0. 令 V′＝0，则 R＝0(舍)或 R＝2 3 . 经检验知，R＝2 3 时，圆柱体积最大，此时 h＝2 3 ， Vmax＝π·4 9 × 2 3 ＝ 8 27 π.] 10．A [∵(－∞，－2)时，f′(x)<0， ∴f(x)为减函数； 同理 f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．] 11．C [因为 f(x)＝ln x－x2，所以 f′(x)＝1 x －2x， 令 f′(x)＝0得 x＝ 2 2 (x＝－ 2 2 舍去)． 当 00，函数单调递增；当 x> 2 2 时，f′(x)<0，函数单调递减．所以函 数 f(x)＝ln x－x2在 x＝ 2 2 处取得极大值，无极小值．] 12．B [y2＝ax的焦点坐标为 a 4 ，0 ，过焦点且斜率为 2的直线方程为 y＝2 x－a 4 ， 令 x＝0得 y＝－ a 2 . ∴ 1 2 × |a| 4 × |a| 2 ＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.] 13．a≥3 解析 由题意应有 f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则 a≥3x2， x∈(－1,1)恒成立，故 a≥3. 14．3 解析 ∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3. 15．(－2,15) 解析 设 P(x0，y0)(x0<0)，由题意知： y′|x＝x0＝3x20－10＝2，∴x20＝4. 又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15. ∴P点的坐标为(－2,15)． 16．21 解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴ －2＋4＝－ 2a 3 －2×4＝b 3 ⇒ a＝－3 b＝－24 . ∴a－b＝－3＋24＝21. 17．证明 构造函数 f(x)＝tan x－x，判断 f(x)在 0，π 2 上的单调性． 设 f(x)＝tan x－x，x∈ 0，π 2 . ∴f′(x)＝ sin x cos x ′－1＝cos2x＋sin2x cos2x －1 ＝ 1 cos2x －1＝1－cos2x cos2x ＝tan2x>0. ∴f(x)在 0，π 2 上为增函数． 又∵f(x)＝tan x－x在 x＝0处可导且 f(0)＝0， ∴当 x∈ 0，π 2 时，f(x)>f(0)恒成立， 即 tan x－x>0.∴tan x>x. 18．解 因为 DC AM ＝ ND AN ，且 AM＝30，AN＝20. 所以 ND＝AB AM ·AN＝2x 3 ， 得 AD＝AN－ND＝20－2x 3 . 仓库的库容 V(x)＝(20－2x 3 )·x·x ＝－ 2x3 3 ＋20x2(00； 当 x∈(20,30)时，V′(x)<0. 所以当 x＝20时，V(x)有极大值也是最大值． 即 AB的长度为 20米时仓库的库容最大． 19．解 (1)因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f′(1)＝3， 所以直线 l1的方程为 y＝3(x－1)， 即 y＝3x－3. 设直线 l2过曲线上点 B(b，b2＋b－2)， 因为 f′(b)＝2b＋1， 所以直线 l2的方程为 y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即 y＝(2b＋1)x－b2－2. 又 l1⊥l2，所以 3(2b＋1)＝－1，所以 b＝－ 2 3 ， 所以直线 l2的方程为 y＝－ 1 3 x－22 9 . 即 3x＋9y＋22＝0. (2)解方程组 y＝3x－3 y＝－ 1 3 x－22 9 ，可得 x＝1 6 y＝－ 5 2 . 因为直线 l1、l2与 x轴的交点坐标分别为(1,0)、 － 22 3 ，0 ， 所以所求三角形的面积为 S＝1 2 ×|－ 5 2|×|1＋ 22 3 |＝125 12 . 20．解 由 V＝πr2h，得 h＝ V πr2 . 设盖的单位面积造价为 a， 则储油罐的造价 M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2 ＝5aπr2＋4aV r ， M′＝10aπr－4aV r2 ，令 M′＝0，解得 r＝ 3 2V 5π ， ∴经验证，当 r＝ 3 2V 5π 时，函数取得极小值，也是最小值，此时， h＝ V πr2 ＝ 3 25V 4π . ∴当 r h ＝ 3 2V 5π 3 25V 4π ＝ 2 5 时，储油罐的造价最省． 21．解 f′(x)＝3ax2－b. (1)由题意得 f′2＝12a－b＝0 f2＝8a－2b＋4＝－ 4 3 ， 解得 a＝1 3 b＝4 ， 故所求函数的解析式为 f(x)＝1 3 x3－4x＋4. (2)由(1)可得 f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝2或 x＝－2. 当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 28 3 － 4 3 因此，当 x＝－2时，f(x)有极大值 28 3 ，当 x＝2时，f(x)有极小值－ 4 3 ， 所以函数 f(x)＝1 3 x3－4x＋4的图象大致如右图所示． 若 f(x)＝k有 3个不同的根，则直线 y＝k与函数 f(x)的图象有 3个交点，所以－ 4 3 0等价于 f－1 2 >0 f1 2 >0 即 5－a 8 >0， 5＋a 8 >0. 解不等式组得－52，则 0<1 a <1 2 .当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－1 2 ， 0) 0 (0，1 a ) 1 a (1 a ， 1 2 ) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 当 x∈[－1 2 ， 1 2 ]时， f(x)>0等价于 f－1 2 >0 f1 a >0 即 5－a 8 >0， 1－ 1 2a2 >0. 解不等式组得 2 2