【数学】2021届一轮复习人教版（文）第1章第1节　集合学案 11页

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第 1 题，“Ⅱ1” 指全国卷Ⅱ第 1 题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第 1 题． 1．考查形式 本章在高考中一般考查 1 或 2 个 小题，主要以选择题为主，很少以 填空题的形式出现． 2．考查内容 从考查内容来看，集合主要考查集 合的运算，包含集合的交、并、补 集运算；常用逻辑用语主要考查充 分必要条件的判断、逻辑联结词 “或”“且”“非”以及全称量词 与存在量词． 3．备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法 和规律 ①集合的交、并、补集运算问题； ②充分条件、必要条件的判断问题； ③含有“或”“且”“非”的命题 的真假性的判断问题； ④含有一个量词的命题的否定问 题． (2)重视数形结合、分类讨论、转化 与化归思想的应用． 第一节　集合 [最新考纲]　1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然 语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．理解集 合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与 空集的含义．3．(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并 集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补 集．(3)能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或 N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集 合 B 中(即若 x∈A，则 x∈B) A⊆B 或(B ⊇A) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集， 且集合 B 中至少有一个元 素不在集合 A 中 A B 或 B A 集合相等 集合 A，B 中的元素相同或 集合 A，B 互为子集 A＝B 3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于 集合 B 的所有元素组 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B} 成的集合 并集 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组 成的集合 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B} 补集 由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成 的集合 ∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A} [常用结论] 1．集合子集的个数 对于有限集合 A，其元素个数为 n，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集个数 为 2n－1，非空真子集个数为 2n－2． 2．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． (3)补集的性质：A∪(∁ UA)＝U；A∩(∁ UA)＝∅；∁ U(∁UA)＝A；∁ U(A∩B)＝(∁ UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1．(　　) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改编 1．若集合 A＝{x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结论正确的是(　　) A．{a}⊆A　　　　　 　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A D　[由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ 2，知 a∉A．] 2．已知集合 M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合 M∪N 的子集的个数为 ________． 64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N 的子集有 26＝64 个．] 3．已知 U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x 是锐角}，B＝{x|x 是钝角}，则∁U(A∪B) ＝________． [答案]　{x|x 是直角} 4．方程组Error!的解集为________． {2 3 ，1 3}　[由Error!得Error! 故方程组的解集为{2 3 ，1 3}．] 5 ． 已 知 集 合 A ＝ {x| － 2 ＜ x ＜ 3} ， 集 合 B ＝ {x|x － 1 ＜ 0} ， 则 A∩B ＝ ________，A∪B＝________． (－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．] 考点 1　集合的概念 　与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数． 　1．已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的 个数为(　　) A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4 A　[由 x2＋y2≤3 知，－ 3≤x≤ 3，－ 3≤y≤ 3．又 x∈Z，y∈Z，所 以 x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以 A 中元素的个数为 9，故选 A．] 2．已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________． －3 2 　[由题意得 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 则 m＝1 或 m＝－3 2 ． 当 m＝1 时，m＋2＝3 且 2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足 题意； 当 m＝－3 2 时，m＋2＝1 2 ，而 2m2＋m＝3，符合题意，故 m＝－3 2 ．] 3．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝________． 0 或9 8 　[当 a＝0 时，显然成立；当 a≠0 时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即 a＝9 8 ．] 4 ． 已 知 a ， b∈R ， 若 {a，b a ，1}＝ {a2 ， a ＋ b,0} ， 则 a2 020 ＋ b2 020 ＝ ________． 1　[由已知得 a≠0，则b a ＝0， 所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素的互异性可 知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1．] (1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如 T2，T4．(2) 常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如 T3． 考点 2　集合的基本关系 　判断两集合关系的方法 (1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系． (2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往 往需化简表达式，再寻求两个集合的关系． (1)(2019·唐山模拟)设集合 M＝{x|x2－x＞0}，N＝Error!，则(　　) A．M N　　　　　　　 B．N M C．M＝N D．M∪N＝R (2)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足 条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (3)已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实 数 m 的取值范围为________． (1)C　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)集合 M＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1 或 x＜0}，N ＝Error!＝{x|x＞1 或 x＜0}，所以 M＝N．故答案为 C． (2)因为 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合 C 可以为：{1,2}， {1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共 4 个． (3)因为 B⊆A， 所以①若 B＝∅，则 2m－1＜m＋1，此时 m＜2． ②若 B≠∅，则Error!解得 2≤m≤3． 由①②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(－∞，3]．] [母题探究] 1．(变问法)本例(3)中，若 B A，求 m 的取值范围． [解]　因为 B A， ①若 B＝∅，成立，此时 m＜2． ②若 B≠∅，则Error!且边界点不能同时取得，解得 2≤m≤3． 综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]． 2．(变问法)本例(3)中，若 A⊆B，求 m 的取值范围． [解]　若 A⊆B，则Error!即Error!所以 m 的取值范围为∅． 3．(变条件)若将本例(3)中的集合 A 改为 A＝{x|x＜－2 或 x＞5}，试求 m 的 取值范围． [解]　因为 B⊆A， 所以①当 B＝∅时，2m－1＜m＋1，即 m＜2，符合题意． ②当 B≠∅时，Error!或Error! 解得Error!或Error!即 m＞4． 综上可知，实数 m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． (1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间 端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解 决这类问题． (2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有 B⊆A 时，应分 B＝∅和 B≠∅两 种情况讨论． 　1．设 M 为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且 M 中至少含有一个奇数元 素，则这样的集合 M 共有(　　) A．6 个　　　B．5 个　　　C．4 个　　　D．3 个 A　[由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共 6 个．] 2．若集合 A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且 B⊆A，则实数 m 的 取值范围为________． [－2,2)　[①若 B＝∅，则 Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合题意； ②若 1∈B，则 12＋m＋1＝0， 解得 m＝－2，此时 B＝{1}，符合题意； ③若 2∈B，则 22＋2m＋1＝0， 解得 m＝－5 2 ，此时 B＝{2，1 2}，不合题意． 综上所述，实数 m 的取值范围为[－2,2)．] 考点 3　集合的基本运算 　集合运算三步骤 　集合的运算 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝ {2,3,6,7}，则 B∩∁UA＝(　　) A．{1,6}　　　　　　　 B．{1,7} C．{6,7} D．{1,6,7} (2)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则 A∩B＝(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，2) C．(－1,2) D．∅ (3)(2019·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则 A∩B＝(　　) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2} (1)C　(2)C　(3)A　[(1)由题意知∁UA＝{1,6,7}，又 B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝ {6,7}，故选 C． (2)∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，即 A∩B＝(－ 1,2)． 故选 C． (3)由题意可知 B＝{x|－1≤x≤1}， 又∵A＝{－1,0,1,2}， ∴A∩B＝{－1,0,1}， 故选 A．] [逆向问题]　 已知 A，B 均为集合 U＝{1,3,5,7,9}的子集，且 A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}， 则 A＝(　　) A．{1,3}　　　　　　　 B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} D　[法一：(直接法)因为 A∩B＝{3}，所以 3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以 9∈A．若 5∈A，则 5∉B(否则 5∈A∩B)，从而 5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与 题中条件矛盾，故 5∉A．同理，1∉A,7∉A，故 A＝{3,9}． 法二：(Venn 图)如图所示． ] 　集合运算的常用方法 (1)若集合中的元素是离散的，常用 Venn 图求解． (2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情 况． 　利用集合的运算求参数 (1)已知集合 M＝{x|0＜x＜5}，N＝{x|m＜x＜6}，若 M∩N＝{x|3＜x＜ n}，则 m＋n 等于(　　) A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6 (2)集合 A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若 A∪B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 (1)B　(2)D　[(1)因为 M∩N＝{x|0＜x＜5}∩{x|m＜x＜6}＝{x|3＜x＜n}，所 以 m＝3，n＝5，因此 m＋n＝8．故选 B． (2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是 a＝4．] 　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之 间的关系，再列方程(组)求解． (2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． [教师备选例题] 1．已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2， x，y∈Z}，定义集合 AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则 AB 中元素的个数为(　　) A．77　　　B．49　　　C．45　　　D．30 C　[如图，集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”，集合 B 表示如图所示的 所有圆点“ ”＋所有圆点“ ”，集合 AB 显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x， y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横 坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合 AB 表示如图所示的所有圆点“ ”＋所有 圆点“ ”＋所有圆点“ ”，共 45 个．故 AB 中元素的个数为 45．故选 C． ] 2．设集合 A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合 B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若 A∩B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(0，3 4) B．[3 4 ，4 3) C．[3 4 ，＋∞) D．(1，＋∞) B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1 或 x＜－3}，设函数 f(x)＝x 2－2ax－1， 因为函数 f(x)＝x2－2ax－1 图象的对称轴为直线 x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根据 对称性可知若 A∩B 中恰有一个整数，则这个整数为 2，所以有Error!即Error!所 以Error! 即3 4 ≤a＜4 3 ．故选 B．] 1．(2019·许昌、洛阳三模)已知集合 A＝{x|y＝ －x2＋1}，B＝(0,1)， 则 A∩B＝(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(0,1] C．(－1,1) D．[－1,1] A　[由题意得 A＝[－1,1]，又 B＝(0,1)，∴A∩B＝(0,1)．故选 A．] 2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合 A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若 A∩B≠∅， 则实数 a 的取值范围为(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] C　[因为 A∩B≠∅，所以结合数轴(图略)可知实数 a 的取值范围是 a＜3，故 选 C．] 3．(2019·安徽宣城八校联考期末)如图，设全集 U＝N，集合 A＝{1,3,5,7,8}， B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2,4} B．{7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5} A　[由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为集合 A＝{1,3,5,7,8}， B＝{1,2,3,4,5}，U＝N，所以(∁UA)∩B＝{2,4}．故选 A．] 4．已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若 A∩B＝{4}，则 a＝________． 3　[因为 A∩B＝{4}，所以 a＋1＝4 或 2a＝4．若 a＋1＝4，则 a＝3，此时 B ＝{4,6}，符合题意；若 2a＝4，则 a＝2，此时 B＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3．]