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- 2021-05-22 发布
计算题专练(三)
(限时：25分钟)
24．(12分)在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图1甲所示．第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E1.坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E2＝，匀强磁场方向垂直纸面．处在第三象限的某种发射装置(图中没有画出)竖直向上射出一个比荷＝102 C/kg的带正电的微粒(可视为质点)，该微粒以v0＝4 m/s的速度从－x上的A点进入第二象限，并以速度v1＝8 m/s从＋y上的C点沿水平方向进入第一象限．取微粒刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的方向为磁场的正方向)，g＝10 m/s2.求：
图1
(1)带电微粒运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1的大小；
(2)＋x轴上有一点D，OD＝OC，若带电微粒在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度大小B0及磁场的变化周期T0；
(3)要使带电微粒通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0·T0应满足的关系？
答案 见解析
解析 (1)将微粒在第二象限内的运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动．
t＝＝0.4 s
h＝t＝0.8 m
ax＝＝20 m/s2，
qE1＝max，
解得E1＝0.2 N/C.
(2)qE2＝mg，所以带电微粒在第一象限将做匀速圆周运动，设微粒运动的圆轨道半径为R，
周期为T，则有qv1B0＝m
可得R＝.
为使微粒恰能沿x轴正方向通过D点，
应有：h＝(2n)R＝(2n).
解得：B0＝0.2n(T)(n＝1,2,3…)．
T＝
＝，
T0＝＝＝(s)(n＝1,2,3…)．
(3)微粒恰好不再越过y轴时，交变磁场周期取最大值，可作如图运动情形：
由图可以知道θ＝
T0≤T＝
B0T0≤(kg/C)．
25．(20分)如图2所示，完全相同的两个弹性环A、B用不可伸长的、长为L的轻绳连接，分别套在水平细杆OP和竖直细杆OQ上，OP与OQ在O点用一小段圆弧杆平滑相连，且OQ足够长．初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后释放两个小环，A环通过小段圆弧杆时速度大小保持不变，重力加速度为g，不计一切摩擦，试求：
图2
(1)当B环下落时A球的速度大小；
(2)A环到达O点后再经过多长时间能够追上B环；
(3)两环发生第一次弹性碰撞后当绳子再次恢复到原长时B环距离O点的距离．
答案 (1) (2) (3)3L
解析 (1)当B环下落时绳子与水平方向之间的夹角满足sin α＝＝，即α＝30°
由速度的合成与分解可知v绳＝vAcos 30°＝vBsin 30°
则vB＝＝vA
B下降的过程中A与B组成的系统机械能守恒，有
mg＝mv＋mv
所以A环的速度vA＝.
(2)由于A到达O点时B的速度等于0，由机械能守恒，
mvA′2＝mgL，解得vA′＝
环A过O点后做初速度为vA′、加速度为g的匀加速直线运动，B做自由落体运动；
当A追上B时，有vA′t＋gt2＝L＋gt2，
解得t＝.
(3)当A、B即将发生碰撞时二者的速度分别为vA1和vB1
vA1＝vA′＋gt＝
vB1＝gt＝
A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律可得
mvA1＋mvB1＝mvA1′＋mvB1′
根据机械能守恒定律，有
mv＋mv＝mvA1′2＋mvB1′2
解得：vA1′＝，vB1′＝
轻绳再次恢复原长过程中由运动学规律可得
vB1′t2＋gt＝L＋vA1′t2＋gt可得t2＝
在上述过程中B球距离O点：
H＝L＋＋vB1′t2＋gt＝3L.