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- 2021-05-22 发布
第3讲 力与曲线运动
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1．条件
F合与v的方向不在同一直线上，或加速度方向与速度方向不共线．
2．性质
(1)F合恒定：做匀变速曲线运动．
(2)F合不恒定：做非匀变速曲线运动．
3．速度方向： 沿轨迹切线方向．
4．合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．
[规律方法提炼]
1．合运动与分运动
物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成．
2．合运动的性质
根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
3．运动的合成与分解
指速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．
例1 (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始由静止开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度－时间图象如图甲、乙所示，关于物体在0～4 s这段时间内的运动，下列说法中正确的是( )
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)
答案 AD
解析 前2 s内物体在y轴方向没有速度，只有x轴方向有速度，由题图甲看出，物体在x轴方向做匀加速直线运动，故A正确；在2～4 s内，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴
方向做匀加速直线运动，根据运动的合成得知，物体做匀加速曲线运动，加速度沿y轴方向，故B错误；在前2 s内，物体在x轴方向的位移为x1＝t＝×2 m＝2 m．在后2 s内，x轴方向的位移为x2＝vt＝2×2 m＝4 m，y轴方向位移为y＝×2 m＝2 m，则4 s末物体的坐标为(6 m,2 m)，故C错误，D正确．
拓展训练1 (2019·江苏苏北三市第一次质检)如图所示，一块可升降白板沿墙壁竖直向上做匀速运动，某同学用画笔在白板上画线，画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速，后匀减速直到停止．取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则画笔在白板上画出的轨迹可能为( )
答案 D
解析 由题可知，画笔相对白板竖直方向向下做匀速运动，水平方向先向右做匀加速运动，根据运动的合成和分解可知此时画笔做曲线运动，由于加速度方向向右，即合力方向向右，则曲线向右弯曲；然后水平方向向右做减速运动，同理可知轨迹仍为曲线运动，由于加速度方向向左，即合力方向向左，则曲线向左弯曲，故选项D正确，A、B、C错误．
拓展训练2 (2019·福建厦门市第一次质量检查)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动是类平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
答案 D
解析 第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次
实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故选项C错误，D正确．
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1．位移关系：
位移方向偏转角tan α＝.
2．速度关系：
速度方向偏转角tan θ＝＝＝2tan α.
分析题目条件是位移(方向)关系，还是速度(方向)关系，选择合适的关系式解题．
[规律方法提炼]
1．基本思路
处理平抛(或类平抛)运动时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．
2．两个突破口
(1)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
(2)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
例2 (2019·温州市联考)在18届雅加达亚运会中，中国女排毫无悬念地赢得了冠军，图为中国队员比赛中高抛发球．若球离开手时正好在底线中点正上空3.49 m处，速度方向水平且与底线垂直．已知每边球场的长和宽均为9 m，球网高为2.24 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．为了使球能落到对方场地，下列发球速度大小可行的是( )
A．15 m/s B．17 m/s C．20 m/s D．25 m/s
答案 C
解析 设每边球场的长和宽均为L，若球刚好过网，据H－h＝gt和L＝v1t1
得最小速度v1＝18 m/s
若球刚好不出场地，据H＝gt，2L＝v2t2，
得最大速度v2≈22 m/s
故发球速度范围是18 m/s＜v＜22 m/s，故选C.
拓展训练3 (2019·金华十校期末)如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力．则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝
C．tan α＝ D．tan α＝1
答案 D
解析 从最高点到落入沙坑是平抛运动
由2L＝v0t
L＝gt2
vy＝gt
tan α＝，得tan α＝1，故选项D正确．
拓展训练4 (多选)(2019·全国卷Ⅱ·19)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案 BD
解析 根据v－t图线与横轴所围图形的面积表示位移大小，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确．
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1．物理量间的关系
2．三种传动方式
(1)皮带传动、摩擦传动：两轮边缘线速度大小相等
(2)同轴转动：轮上各点角速度相等
[规律方法提炼]
1．基本思路
(1)进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心、轨道平面以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr.
2．技巧方法
(1)竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度通常利用动能定理来建立联系；
(2)最高点和最低点利用牛顿第二定律进行动力学分析．
3．两种模型
(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥.
(2)杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.
例3 (2019·安徽芜湖市上学期期末)如图所示，用长为L的细线系着一个质量为m的小球(可以看作质点)，以细线端点O为圆心，在竖直平面内做圆周运动．P点和Q点分别为圆轨迹的最低点和最高点，不考虑空气阻力，小球经过P点和Q点所受细线拉力的差值为( )
A．2mg B．4mg C．6mg D．8mg
答案 C
解析 在Q点， F1＋mg＝m；对从最高点到最低点过程， 有：mg(2L)＝mv－mv ；在最低点， F2－mg＝m；联立三式有：F2－F1＝6mg，故选C.
拓展训练5 (2019·绍兴诸暨市期末)如图所示是磁盘的磁道，磁道是一些不同半径的同心圆．为了数据检索的方便，磁盘格式化要求所有磁道储存的字节与最内磁道的字节相同，最内磁道上每字节所占用磁道的弧长为L.已知磁盘的最外磁道半径为R，最内磁道的半径为r，相邻磁道之间的宽度为d，最外磁道不储存字节．电动机使磁盘以每秒n圈的转速匀速转动，磁头在读写数据时保持不动，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道，不计磁头转移磁道的时间．下列说法正确的是( )
A．相邻磁道的向心加速度的差值为
B．最内磁道的一个字节通过磁头的时间为
C．读完磁道上所有字节所需的时间为
D．若r可变，其他条件不变，当r＝时磁盘储存的字节最多
答案 D
解析 由电动机使磁盘每秒转n圈知T＝ s.
由a＝ω2r知相邻磁道加速度的差值Δa＝·Δr＝4π2n2d，故A
项错误；最内磁道一个字节通过磁头的时间t1＝·T＝，故B项错误；读完所有磁道所需时间t＝()T＝，故C项错误；字节数n＝＝r(R－r)，故其他条件不变时，当r＝时，n有最大值，故D正确．
拓展训练6 (2019·绍兴市3月选考)为了提高一级方程式赛车的性能，在形状设计时要求赛车上下空气存在一个压力差(即气动压力)，从而增大赛车对地面的正压力．如图所示，一辆总质量为600 kg的赛车以288 km/h的速率经过一个半径为180 m的水平弯道，转弯时赛车不发生侧滑，侧向附着系数(正压力与摩擦力的比值)η＝1，则赛车转弯时( )
A．向心加速度大小约为460 m/s2
B．受到的摩擦力大小约为3×105 N
C．受到的支持力大小约为6 000 N
D．受到的气动压力约为重力的2.6倍
答案 D
解析 288 km/h＝80 m/s
根据向心加速度公式a＝≈36 m/s2，故A错误；
因为摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得：Ff＝≈21 333 N，故B错误；
因为摩擦力Ff＝ηFN＝η(Mg＋F)，则汽车所受支持力FN＝＝21 333 N，气动压力F＝FN－Mg＝15 333 N，
故＝≈2.6，故C错误，D正确．
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天体质量和密度
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力提供向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝.
[规律方法提炼]
1．环绕天体模型
环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G＝mr＝m＝mω2r＝ma等，可得：
中心天体质量M＝，ρ＝(r＝R时有ρ＝)
环绕天体运行速度v＝，加速度a＝.
角速度ω＝，周期T＝，故r增大时，速度v、角速度ω、加速度a均减小，周期T增大．
2．变轨问题
(1)同一卫星在不同轨道上运行时机械能和周期不同，轨道半径越大，机械能越大，周期越长．
(2)卫星经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，在外轨道的速度大于在内轨道的速度．
3．双星问题
双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，得m1r1＝m2r2
另：G＝ω2(r1＋r2)
双星总质量：m1＋m2＝.
例4 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
拓展训练7 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金a地>a火，选项A正确，B错误；同理，由G＝m，解得v＝，再结合题中R金v地>v火，选项C、D错误．
拓展训练8 (2019·新高考研究联盟二次联考)如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在拉格朗日点L1上的空间站与月球一起以相同的周期绕地球做匀速圆周运动．以下判断正确的是( )
A．空间站的绕行速度大于月球的绕行速度
B．空间站的向心力仅由地球的万有引力提供
C．空间站的向心加速度小于月球的向心加速度
D．月球运行的线速度大于同步卫星运行的线速度
答案 C
解析 空间站和月球，周期相同，由v＝ωr＝·r知空间站的绕行速度小，A错误；
由a＝ω2r＝·r知空间站的向心加速度小，故C项正确；
空间站的向心力是由地球和月球的万有引力的合力提供，由B错误；由G＝m知月球运行的线速度小于同步卫星运行的线速度，故D错误．
例5 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自自转的角速度无法求解．
专题强化练
基础题组
1．如图，乒乓球从斜面上滚下，它以一定的速度沿直线运动，在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，要提前吹才会进入纸筒．
2．在高空中匀速飞行的轰炸机，每隔时间t投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则投放的炸弹在空中的位置是选项中的(图中竖直的虚线将各图隔离)( )
答案 B
解析 炸弹的运动是一个平抛运动，它在水平方向上是匀速直线运动，与飞机速度相等，所以所有离开飞机的炸弹与飞机应在同一条竖直线上，故A、C选项错误；炸弹在竖直方向上是自由落体运动，从上至下，炸弹间的距离越来越大，B项正确，D项错误．
3．(2019·山东临沂市2月质检)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s．则物体在这4 s内的轨迹为( )
答案 D
解析 物体在F1的作用下由静止开始从坐标系的原点沿＋x轴方向做匀加速运动，加速度a1
＝＝4 m/s2，速度为v1＝at1＝8 m/s，对应位移x1＝a1t＝8 m，到2 s末撤去F1再受到沿＋y方向的力F2的作用，物体在＋x轴方向匀速运动，x2＝v1t2＝16 m，在＋y方向加速运动，＋y方向的加速度a2＝＝5 m/s2，方向向上，对应的位移y＝a2t＝10 m，物体做曲线运动．再根据曲线运动的加速度方向大致指向轨迹凹侧的一向，知D正确，A、B、C错误．
4．(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
答案 D
解析 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
5．(2019·浙南名校联盟期末)2018年11月1日23时57分，中国北斗三号系统首颗地球静止轨道卫星被送入地球高轨．据北斗卫星导航系统总设计师杨长风介绍，此次发射的卫星有三大特点：它是北斗三号系统首颗地球同步卫星，也是我国北斗三号系统第十七颗组网卫星；该卫星除提供基本导航服务(RNSS)外，还将提升短报文服务能力(RDSS)，在全面兼容北斗二号RDSS服务基础上，容量提升10倍，用户机发射功率降低10倍，能力大幅提升；该卫星还将提供星基增强服务(SBAS)，按照国际民航标准，提供更高精度、更高完好性的导航服务．以下关于地球同步卫星的说法正确的是( )
A．不同国家的地球同步卫星运行的轨道一定是不同的
B．不同国家的地球同步卫星的质量一定是相同的
C．地球同步卫星的运行速率比近地卫星的运行速率大
D．地球同步卫星的运行速率比赤道上的物体运行速率大
答案 D
解析 成功定点后的“北斗导航卫星”，是地球同步卫星，所以必须定点在赤道的正上方，故A错误；在同一轨道上的同步卫星质量不一定相同，故B错误；7.9 km/s即第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，同步卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故C错误；因它们的角速度相同，根据v＝ωr，可知半径越大时，线速度越大，故D正确．
6.(2019·金华十校高三期末)甲、乙两位同学进行投篮比赛，由于两同学身高和体能的差异，他们分别站在不同的两处将篮球从A、B两点投出(如图所示)，
两人投出的篮球都能垂直打中篮板的同一点并落入篮筐，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．甲、乙抛出的篮球从抛出到垂直打中篮板的运动时间相等
B．甲、乙抛出的篮球初速度的大小可能相等
C．甲、乙抛出的篮球初速度的竖直分量大小相等
D．甲、乙抛出的篮球垂直打中篮板时的速度相等
答案 B
解析 将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，由h＝gt2可知，乙的h小，则t小；
又x＝v0t，x乙大则垂直击中篮板时乙的速度大，由v＝2gh，甲的初速度竖直分量大，由速度合成知抛出时初速度大小可能大小相等．
7．(2019· 浙南名校联盟高三期末)如图所示为“行星传动示意图”．中心“太阳轮”的转动轴固定，其半径为R1，周围四个“行星轮”的转动轴固定，其半径为R2，“齿圈”的半径为R3，其中R1＝1.5 R2，A、B、C分别是“太阳轮”、“行星轮”、“齿圈”边缘上的点，齿轮传动过程不打滑，那么( )
.
A．A点与B点的角速度相同
B．A点与B点的线速度相同
C．B点与C点的转速之比为7∶2
D．A点与C点的周期之比为3∶5
答案 C
解析 由题图可知，A与B为齿轮传动，所以线速度大小相等，B与C也是齿轮传动，线速度也相等，所以A与C的线速度大小是相等的，A点与C点的线速度大小之比为1∶1；
由图可知：R3＝2R2＋R1＝2R2＋1.5R2＝3.5R2
B与C的线速度大小相等，由T＝，可得＝＝，故＝，同理，＝＝.
8．(2019·浙南名校联盟期末)如图所示，有一可视为质点的光滑小球在圆桶最低点，内壁光滑、半径为R的圆桶固定在小车上．小车与小球一起以速度v向右匀速运动、当小车遇到障碍物突然停止时，小球在圆桶中上升的高度不可能( )
A．等于 B．大于
C．小于 D．等于2R
答案 B
解析 小球由于惯性会继续运动，可能会越过最高点做圆周运动，也有可能达不到四分之一圆周，速度减为零，也有可能越过四分之一圆周但越不过圆桶的最高点．
1．若越过最高点做圆周运动，则在圆桶中上升的高度等于2R.
2．若达不到四分之一圆周，速度减为零，根据机械能守恒，mv2＝mgh，h＝.
3．若越过四分之一圆周但越不过圆桶的最高点，则会离开轨道做斜抛，在最高点有水平速度．根据机械能守恒得，mv2＝mgh＋mv′2，上升的高度小于，故A、C、D可能，B不可能．
9．(2019·超级全能生2月联考)高分专项也被称为“天眼工程”，2018年6月2日，我国成功将“高分六号”卫星发射升空，至此共有六颗高分系列卫星为国家提供高时空分辨率的遥感数据．高分系列卫星中，只有“高分四号”是地球同步轨道卫星，其余卫星都在太阳同步轨道运行(太阳同步轨道，如图所示，其普遍倾角超过了80度，卫星一次回访会途经地球两极点，属于极地轨道)，表中给出了“高分二号”和“高分四号”的部分数据，根据信息可知( )
“高分二号”卫星参数
参数
指标
轨道类型
太阳同步回归轨道
轨道高度
631 km(标称值)
倾角
97.908 0°
“高分四号”卫星参数
参数
指标
轨道类型
地球同步轨道
轨道高度
36 000 km
定点位置
105.6°E
A.“高分二号”绕地球运行的线速度较小
B．“高分二号”绕地球运行的角速度较大
C．“高分四号”的发射速度较小
D．“高分四号”也可以途经地球两极点
答案 B
解析 根据万有引力定律有G＝m＝mω2r，“高分二号”轨道较低，所以其线速度大，角速度大，发射速度小，故A、C错误，B正确；同步卫星定点于赤道上空，不可能经过地球两极点，D错误．
10．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)2022年冬奥会将在中国举办的消息吸引了大量爱好者投入到冰雪运动中．若跳台滑雪比赛中运动员在忽略空气阻力的情况下，在空中的运动可看成平抛运动．运动员甲以一定的初速度从平台飞出，轨迹为图中实线①所示，运动员乙以相同的初速度从同一点飞出，且质量比甲大，则乙运动轨迹应为图中的( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 A
解析 平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在竖直方向上有y＝gt2，在水平方向上有x＝v0t，解得：y＝x2，说明以相同初速度从同一点做平抛运动，其运动轨迹与质量无关，故乙的运动轨迹仍是实线①，故选A.
能力题组
11.为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，如图所示，AB为进入弯道前的平直公路，BC为水平圆弧形弯道，已知AB段的距离sAB＝14 m，弯道半径R＝24 m，汽车到达A点时速度vA＝16 m/s，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车：
(1)在弯道上行驶的最大速度的大小；
(2)在AB段做匀减速运动的最小加速度的大小．
答案 (1)12 m/s (2)4 m/s2
解析 (1)汽车在弯道上行驶速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律知：μmg＝m
可得v＝＝12 m/s
(2)AB过程中汽车做匀减速直线运动，在弯道以最大速度行驶时，减速运动的加速度最小，则v2－v＝2asAB，
解得a＝－4 m/s2，即最小加速度大小为4 m/s2.
12．(2019·金华十校期末)在水平地面上竖直放置一个半径为R＝2.5 m半圆形管道，在管道上端出口处B点有一块水平木板与管道相切，管道半径比管道内径大得多，如图所示．现有一个比管道内径略小的可视为质点的滑块从管道最低点A进入管道，从B点离开管道滑上水平木板．已知滑块质量为0.5 kg，滑块与水平木板间的动摩擦因数为0.05.(g取10 m/s2)
(1)若滑块进入管道时，在A点对管道的压力为29.2 N，求滑块在A点时的速度大小；
(2)若滑块在B点的速度为2 m/s，求滑块在B点对管道的压力大小；
(3)滑块仍以(2)小题中的速度滑上水平木板，若水平木板长度可以调节，滑块落在水平地面上的落点C(C点图中未画出)的位置发生变化，求落点C与A点的最大距离．
答案 (1)11 m/s (2)4.2 N (3)4.25 m
解析 (1)滑块在A点：FA－mg＝，得vA＝11 m/s
(2)滑块在B点：mg－FB＝，得FB＝4.2 N
由牛顿第三定律可得，滑块在B点对管道的压力大小为4.2 N
(3)设滑块从水平木板飞出的速度为v
在水平木板上滑块的加速度大小为a＝μg＝0.5 m/s2
在水平木板上滑块的位移x1＝
滑块飞出木板后做平抛运动x2＝vt,2R＝gt2
代入数据，得到滑块落点C与A的距离x＝－v2＋v＋4
所以得到：当v＝0.5 m/s时，落点C与A点的距离最大，最大为xmax＝4.25 m