【数学】2018届一轮复习人教A版概率与统计学案(1) 19页

【2018 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要 求． (2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A 级 要求． (3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B 级要求． (4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B 级要求. 【重点、考点剖析】 1．概率问题 (1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的 事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件 A 的对立事件 A 的概率，然后利 用 P(A)＝1－P( A )可得解； (2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件 A 中的基本事件， 利用公式 P(A)＝m n 求出事件 A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某 一顺序做到不重复，不遗漏； (3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件 A 所包含的基本事件所占据区域的测度， 这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题 (1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要 环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样； (2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘 制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用； (3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或 数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了； (4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出 的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程. 【题型示例】 题型一 随机事件及其概率 例 1、(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每 瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据 往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求 量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需 求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得 下面的频数分布表： 最高气温 [10,1 5) [15,2 0) [20,2 5) [25,3 0) [30,3 5) [35,4 0) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率． (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量 为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 【变式探究】 (2015·广东，7)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d，e，从这 5 件产 品中任取 2 件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c， d)，(c，e)，(d，e)共 10 种．恰有一件次品的结果有 6 种，则其概率为 p＝ 6 10 ＝0.6.学*科 网 答案 B 【变式探究】(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________． 解析 这两只球颜色相同的概率为1 6 ，故两只球颜色不同的概率为 1－1 6 ＝5 6 . 答案 5 6 学*科网 【变式探究】(2015·湖南，16)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后 即可抽奖．抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2 和 2 个白球 b1、b2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不 中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认 为正确吗？请说明理由． 【变式探究】(2015·北京，17)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、 丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. ] 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1 000 ＝0.2. 【变式探究】(2015·四川，17)一辆小客车有 5 个座位，其座位号为 1，2，3，4，5， 乘客 P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为 1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先 后上车，乘客 P1 因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则 就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位． (1)若乘客 P1 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法．下表给出 了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客 P1 坐在了 2 号座位，其他的乘客按规则就坐，求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率． 解 (1)余下两种坐法如下表所示： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客 P1 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示 为： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共 8 种， 设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4， 所以 P(A)＝4 8 ＝1 2 .学*科网 题型二 古典概型 例 2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随 机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 【答案】 D 【2017 山东】从分别标有1，2 ， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽 取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A） 5 18 （B） 4 9 （C） 5 9 （D） 7 9 【答案】C 【变式探究】【2016 高考新课标 1 文数】为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中 任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花 坛的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 【解析】将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 6 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为 2 3 ，选 C. 【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，4)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边 的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数 构成一组勾股数的概率为( ) A. 3 10 B.1 5 C. 1 10 D. 1 20 解析 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个数有 10 个基本事件，构成勾股数的只有 3，4，5 一组，故概率为 1 10 .学*科网 答案 C 【变式探究】(2015·天津，15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27， 9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这 6 名运 动员中随机抽取 2 人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果； ②设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的 概率． 解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3，1，2. (2)①从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}， {A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}， {A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共 15 种． ②编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}， {A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共 9 种． 因此，事件 A 发生的概率 P(A)＝ 9 15 ＝3 5 .学*科网 【变式探究】(2015·山东，16)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲 社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5， 3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率． 题型三 几何概型 例 3．【2017 课标 1，】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此 点取自黑色部分的概率是 A． 1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 【答案】B 【变式探究】(2017·江苏卷)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[－4,5]上随机 取一个数 x，则 x∈D 的概率是________． 解析：由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2,3]，则所求概率为3－ －2 5－ －4 ＝5 9. 答案：5 9 【变式探究】(2015·山东，7)在区间[0，2]上随机地取一个数 x，则事件“－ 1≤log1 2 x＋1 2 ≤1”发生的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 解析 由－1≤log1 2 x＋1 2 ≤1，得1 2 ≤x＋1 2 ≤2，∴0≤x≤3 2 .∴由几何概型的概率计算公 式得所求概率 P＝ 3 2 －0 2－0 ＝3 4 .学*科网 答案 A 【变式探究】(2015·湖北，8)在区间[0，1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x＋ y≤1 2 ”的概率，p2 为事件“xy≤1 2 ”的概率，则( ) A．p10)，所以 z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以 x 与 z 负相关．故选 C. 答案 C 【变式探究】(2015·北京，14)高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的 语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学 生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________． 解析 ①由散点图可知：越靠近坐标原点 O 名次越好，乙同学语文成绩好，而总成绩年 级名次靠后；而甲同学语文成绩名次比总成绩名次差，所以应是乙同学语文成绩名次比总成 绩名次靠前． ②丙同学总成绩年级名次比数学成绩年级名次差，所以丙同学成绩名次更靠前的是数 学． 答案 乙 数学 【变式探究】(2015·重庆，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某 地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的回归方程y ^ ＝b ^ t＋a ^ ； (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^ ＝b ^ t＋a ^ 中， b ^ ＝ ∑ n i＝1 tiyi－nty ∑ n i＝1 t2 i－nt2 ，a ^ ＝y－b ^ t.