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- 2021-05-22 发布
专题31 复数的解题策略
一．【学习目标】
1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．
2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．
3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．
二．知识点与方法总结
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a=0，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．
(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．
2．复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝＝＋i(c＋di≠0)．
3．两条性质
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
4.方法规律总结
（1）.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.
（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.
（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.
三．典例分析
（一）复数的概念
例1．若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，
故选
练习1．若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），则（ ）
A．复数z的实部为21
B．复数z的虚部为33
C．复数z的共轭复数为57﹣21i
D．在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限
【答案】C
练习2．若复数（为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．
故选：B．
（二）复数的几何意义
例2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），
∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．
练习1．复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为
所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）
练习2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，
∴，
∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
练习3．已知，且，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴
∴＝3,得，则，
∴a=，故选：C．
，建立等式,
建立等式，得到，解得，故错误。故选B。
练习4．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为,所以表示的点在第二象限，故选B．
练习5．复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是___________．
【答案】
【解析】因为，所以其对应点的坐标为，
设对应点的坐标为，由得，即
所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为.
故答案为
（六）复数综合
例6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，所以对应点，在第二象限，选B.
练习1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1