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- 2021-05-22 发布
增分点 圆锥曲线中的证明问题、探究性问题
证明问题
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
[典例]
如图，圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且MN＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆T：＋＝1相交于两点A，B，连结AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.
[思路演示]
解：(1)设圆C的半径为r，依题意得，圆心坐标为(r,2)．
∵MN＝3，∴r＝，∴r＝，
∴圆C的方程为2＋(y－2)2＝.
(2)证明：把y＝0代入方程2＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，即点M(1,0)，N(4,0)．
①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立方程消去y，
得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
∴kAN＋kBN＝＋＝＋
＝.
∵(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，
∴kAN＋kBN＝0，∴∠ANM＝∠BNM.
综上所述，∠ANM＝∠BNM.
[解题师说]
证明∠ANM＝∠BNM，若AB的斜率不存在，显然成立，若斜率存在，只需证直线AN与BN的斜率互为相反数即可．
[应用体验]
1.
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且·＝－b2.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
解：(1)由题意，A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M.
所以＝，＝(－a，b)．
因为·＝－b2，
所以·(－a，b)＝－＋＝－b2，
整理得a2＝4b2，即a＝2b.
因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即a＝2c.
所以椭圆的离心率e＝＝.
(2)证明：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.
从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.
设C(x0，y0)，则＋y＝1.
因为AB∥CD，
故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0.
联立方程消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得x＝x0或x＝2y0.
所以点D的坐标为.
所以k1k2＝·＝，
即k1k2为定值.
探究性问题
探究性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
[典例] (2018·湘中名校联考)
如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(
y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[思路演示]
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，
且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1可得a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由根与系数的关系得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
依题意可知AP⊥AQ，∴·＝0，
即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)，即8x＋3y－8＝0.
[解题师说]
第(1)问在C2的方程中，令y＝0可得b，再由＝，a2－c2＝b2可得a；
第(2)问设出过点B的直线l的方程，分别与曲线C1，C2联立．用直线l的斜率k表示出点P，Q的坐标后，要使以PQ为直径的圆过点A，则有·＝0，从而解得k，求出直线l的方程．
[应用体验]
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点F恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由题意知椭圆的焦点F(1,0)，即c＝1.
由e＝得a＝，b＝＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)，
当直线BC的斜率不存在时，
设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝·＝＝＝≠，
不合题意．故直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，
代入椭圆方程，得：
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
得2k2－m2＋1>0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由kAB·kAC＝·＝，
得4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，
将①代入上式，整理得(m－1)(m－3)＝0.
又因为m≠1，所以m＝3，
此时直线BC的方程为y＝kx＋3.
所以直线BC恒过一定点(0,3).
1．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)及点D，动直线l：y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.
解：(1)把y＝kx＋1代入x2＝2py，得x2－2pkx－2p＝0，
设A，B，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.
由α＋β＝π可知，直线AD的斜率与直线BD的斜率之和为0，
所以＋＝0，整理得(x1＋x2)(x1x2＋p2)＝0，
即2pk(p2－2p)＝0，
由该式对任意实数k恒成立，可得p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)证明：设过点N的垂线方程为x＝t(t≠0)，
由得即点P.
令＝λ，则N，
所以直线ON的方程为y＝x.
由且x≠0得即点H，
所以＝＝＝λ，所以＝，
即|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.
2．(理)
(2018·长沙模拟)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；
(2)设直线l交直线x＝4于点Q，
证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.
证明：(1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故|EM|＝|EB|.
从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝＝＝＝＝4.
所以|EA|＋|EB|为定值4.
(2)证明：由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，
故E，F均在椭圆＋＝1上．
设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．
令x＝4，得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.
由消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.
因为E，B，F，Q在同一条直线上，
所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，
即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，
等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.
将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，知上式成立．
所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.
(文)(2018·长沙模拟)已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．
(1)求C点轨迹E的方程；
(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P
处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．
解：(1)设C点坐标为(x，y)，则B点坐标为.
因为AC是直径，所以BA⊥BC，或C，B均在坐标原点，
因此·＝0，而＝，＝，
故有－＋2y＝0，即x2＝8y.
另一方面，设C是曲线x2＝8y上一点，
则有|AC|＝ ＝，
AC中点的纵坐标为＝，
故以AC为直径的圆与x轴相切．
综上可知C点轨迹E的方程为x2＝8y.
(2)证明：设直线AC的方程为y＝kx＋2，C(x1，y1)，P(x2，y2)，
由得x2－8kx－16＝0，
则x1x2＝－16.
由y＝，对x求导知y′＝，
从而曲线E在P处的切线斜率k2＝，
直线BC的斜率k1＝＝，
于是k1k2＝＝＝－1.
因此QC⊥PQ，
所以△PQC恒为直角三角形．
3．(2018·西安八校联考)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN
为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，可得2a＝4，a＝2.
又T(2，)在椭圆上，因此＋＝1，所以b＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆C的左顶点为A，
所以点A的坐标为(－2，0)．
因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于E，F两点，
设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0)．
由消去y，得x2＝，
所以x0＝，则y0＝，
所以直线AE的方程为y＝(x＋2)．
因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x＝0，得y＝，即点M0，.
同理可得点N.
所以|MN|＝－
＝.
设MN的中点为P，则点P的坐标为P.
则以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝2，即x2＋y2＋y＝4.
令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.
故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0)，P2(－2,0)．
4．(2018·湖南东部五校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，且b＞c.设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，
∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，
∴＝，∴bc＝.
又a2＝b2＋c2＝4，b＞c，
∴b＝，c＝1.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.
∵2＝4·，
即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，
即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4(1＋k2)
＝4×＝5，解得k＝±，
又k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.