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- 2021-05-21 发布
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学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 第 05 讲 --- 一元一次方程
授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结
教学目标
1 了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路
2 熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
体系搭建
一、知识框架
二、知识概念
（一）一元一次方程概念
1、方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数
的指数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。判断一个数是不是方程的解，
只需将这个数代入方程，若方程的左边等于右边，则这个数是方程的解，否则不是。
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4、等式基本性质 1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式
等式的基本性质 2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0的数），所得结果仍是等式。
（二）解一元一次方程
1、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。
（三）一元一次方程应用
1、形积问题
2、打折销售问题
1、与打折销售有关的公式：
①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100%
③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数
3、行程问题
1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般
是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常
见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度
4、解决实际问题一般步骤
变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题
去分母
在方程两边同时乘各分母的最小
公倍数
等式基本性质 2
不要漏乘不含分母的项，
分数线起到括号的作用
去括号
先去小括号，再去中括号，最后
去大括号
去括号法则、分配律
括号前是负号，去括号后，
括号内各项均变号
移项
把含未知数的项移到方程的一
边，其他项都移到方程的另一边
等式基本性质 1 移项要变号
合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a 的形式 合并同类项法则
系数相加，字母及其指数
均不变
未知数的系
数化为 1
在方程两边同除以未知数的系数
a ，得到方程的解
bx
a
等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒
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5、其他应用：工程问题、分配问题等
典例分析
考点一：一元一次方程相关概念
例 1、例 1、若（m-2）
2 3mx
﹣2m=1，是关于 x的一元一次方程，则 m=（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．1
例 2、已知：
1( 2)2 3( 2 ) 5 0
a
a b y y
是关于 y的一元一次方程：
（1）求 a，b的值
（2）若 x=a是 ﹣ +3= 的解，求丨 5a﹣2b丨﹣丨 4b﹣2m|的值
例 3、 20 9 3x x x 是一元一次方程m +m 的解，则m=
考点二： 解一元一次方程
例 1、我们规定，若关于 x的一元一次方程 ax=b的解为 b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解
为 2，且 2=4﹣2，则该方程 2x=4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断 3x=4.5是否是差解方程；（2）若关于 x的一元一次方程 6x=m+2是差解方程，求 m的值
4
例 2、已知关于 x的方程 ax+2=2（a+x）的解是方程|x﹣ |﹣1=0的解，求 a的值
例 3、解方程：
（1）2﹣ =x﹣ （2）2[ x﹣（ x﹣ ）]= x
（3）|4x﹣3|﹣2=3x+4 （4）|x﹣|2x+1||=3
考点三：一元一次方程的应用
例 1、如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用 10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全
收缩后，鱼竿长度即为第 1节套管的长度（如图 1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如
图 2所示）．图 3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第 1节套管长 50cm，第 2
节套管长 46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少 4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并
固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 xcm．
（1）请直接写出第 5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 311cm，求 x的值
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例 2、如图，将一张正方形铁片的 4个角剪去 4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的
长方体容器，设这个正方形铁片的边长为 a，做成的无盖长方体容器高为 h
（1）用含 a和 h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积 V；
（2）若 a=12cm，h=2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为 8cm的圆柱形容器内，
请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取 3.14，结果精确到 0.1cm）
例 3、列方程解应用题
某市为提倡节约用水，采取分段方式收费．若每户每月用水不超过 22m3，则每立方米收费 a元，若每户每
月用水超过 22m3，则超过部分每立方米加收 1.1元．
（1）小张家 12月用水 10m3，共交水费 23元，求 a的值；
（2）老王家 12月份共交水费 71元，问老王家 12月用水多少 m3？
例 4、甲、乙两地相距 720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶 1小时后，快车才开始
行驶．已知快车的速度是 120km/h，慢车的速度是 80km/h，快车到达乙地后，停留了 20min，由于有新的
任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次
相遇时间间隔是多少？
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例 5、有一个水池，用两根水管注水，如果单开甲管，5小时注满水池，
如果单开乙管，10小时注满水池．
（1）如果甲先注水 2小时，然后由甲、乙共同注水，还需要多少时间才能把水池注满？
（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管 6小时可以把一满池水放完，如果三管同时开放，多少
小时才能把一空池注满水？
例 6、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏 10元，而按标价的七
五折出售将赚 17元，问：
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）每件服装的成本是多少元？
（3）为保证不亏本，最多能打几折？(保留一位小数)
例 7、如图，数轴上 A，B两点对应的有理数分别为 10和 15，点 P从点 A出发，以每秒 1个单位长度的速
度沿数轴正方向运动，点 Q同时从原点 O出发，以每秒 2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时
间为 t秒．
（1）当 0＜t＜5时，用含 t的式子填空：BP= ，AQ=
（2）当 t=2时，求 PQ的值
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（3）当 PQ= 时，求 t的值
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
课堂狙击
1、方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2=3是一元一次方程，则 a和 m分别为（ ）
A．2和 4 B．﹣2和 4 C．2和﹣4 D．﹣2和﹣4
2、若方程（m2-4m+3）x|m|
﹣3=0是一元一次方程，则 m的值为
3、a、b、c三个物体的重量如下图所示：
回答下列问题：
（1）a、b、c三个物体就单个而言哪个最重？
（2）若天平一边放一些物体 a，另一边放一些物体 c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体 a
和物体 c？
4、数学迷小虎在解方程 ﹣1去分母时，方程右边的﹣1漏乘了 3，因而求得方程的解为 x= -5，
请你帮小虎同学求出 a的值，并且正确求出原方程的解
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5、解方程：
（1） （2）x﹣3（ ）=2（x+2）
（3） ﹣ =1 （4）
（5） = （6）|x﹣1|+|x﹣5|=4
6、某产品供应商为了促进该产品的销售，同意给商场供货时将该产品的供货价格降低 5%，而该产品的商
场零售价不变，这样一来，该产品商场零售时的单位利润率由原来的 x%提高到（x+10）%，则 x的值为多
少？
7、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 8，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的
小 3，求这个两位数
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8、一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为 80米与 100米，它们相向行驶在平行的轨道上，
若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是 5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶
过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒
9、一件风衣，按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的 8折出售，每件卖 180元，这件风衣的成
本价是（ ）
A．150元 B．80元 C．100元 D．120元
10、2016年 4月 21日在深圳体育馆召开的第八届中国（深圳）国际茶业文化博览会上某茶商将甲、乙两种
茶叶卖出，甲种茶叶卖出 1200元，盈利 20%，乙种茶叶卖出 1200元，亏损 20%，则此人在这次交易中是
（ ）
A．盈利 50元 B．盈利 100元 C．亏损 150元 D．亏损 100元
课后反击
1、已知关于 x的方程 的一元一次方程，试求
a bx
2、已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于 x的一元一次方程，求代数式 199（m+x）（x﹣2m）+3m+15
的值
3、已知 5x2﹣5x﹣3=7，利用等式的性质，求 2x2﹣2x+3的值
4、解方程：
（1） （2）
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（3）
（5）2|x﹣2|+|x+1|=|3x﹣3| （6）|x﹣4|﹣|x+2|=x+3
5、一 种商品售价为 120元，由于购买的人 多，商家便
提价 25%销售，但提价后，商品滞销，商家只好再降价 x%，使商品恢复到原价，那么 x%=（ ）
A．25 B．20 C．25% D．20%
6、一列匀速前进的火车，从它进入 320米长的隧道到完全通过隧道共用了 18秒，隧道顶部一盏固定的小
灯灯光在火车上照了 10秒钟，则这列火车的长为（ ）
A．190米 B．400米 C．380米 D．240米
7、一件工程，甲独做要 40天，乙独做要 60天，现在两人合做，中间甲因病休息了几天，所以 27天才完
成，甲休息了多少天？菁优网版权所有
8、运动会前夕，爸爸陪小明在 400m的环形跑道上训练，他们在同一地点沿着同一方向同时出发
（1）请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的速度；
（2）爸爸追上小明后，在第二次相遇前，再经过 分钟，小明和爸爸在跑道上相距 50m
（4）
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9、如图 1，长方形 OABC的边 OA在数轴上，O为原点，长方形 OABC的面积为 12，OC边长为 3
（1）数轴上点 A表示的数为
（2）将长方形 OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 O′A′B′C′，移动后的长方形 O′A′B′C′与原长方
形 OABC重叠部分（如图 2中阴影部分）的面积记为 S
① 当 S恰好等于原长方形 OABC面积的一半时，数轴上点 A′表示的数为
② 设点 A的移动距离 AA′=x
ⅰ．当 S=4 时，x=
ⅱ．D为线段 AA′的中点，点 E在线段 OO′上，且 OE= OO′，当点 D，E所表示的数互为相反数时，求 x
的值
直击中考
1、【2015 深圳】下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）。
用水量 单价
22x a
剩余部分 1.1a
（1）某用户用水 10立方米，公交水费 23元，求 a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户 5月份交水费 71元，请问该用户用水多少立方米？
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2、【2012 梧州】今年 5月，在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛．在 27日的决赛中，中国队占胜韩
国队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张 300元和每
张 400元的两种门票共 8张，总费用为 2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
S(Summary-Embedded)——归纳总结
重点回顾
一、打折销售问题
1、打折销售相关概念：
①成本价：即进价，商店进货时的价格；②标价：在商店出售时所标明的价格；
③售价：商品出售时的实际价格； ④利润率：商品的利润与成本价的比值。
⑤折数：打n 折，表示为按原价的
10
n
出售，另外，像打七五折，是按原价的 7.5
10
出售，以此类推，打九五
折，就是按原价的 9.5
10
出售。
2、与打折销售有关的公式：
①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100%
③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数
二、行程问题
1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般
是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常
见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度
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名师点拨
1、解决实际问题一般步骤
学霸经验
本节课我学到了
我需要努力的地方是