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- 2021-05-21 发布
第52讲 简谐运动及其描述 单摆 共振
【教学目标】
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.
2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件．
【教学过程】
★重难点一、简谐运动★
1. 简谐运动的两种基本模型
模型
弹簧振子(水平)
单摆
简谐运动条件
(1)弹簧质量忽略不计
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹性限度内
(1)摆线为不易伸长的轻细线
(2)无空气等阻力
(3)最大摆角θ<5°
回复力
弹簧的弹力提供F回＝F弹＝－kx(x为形变量)
摆球重力沿与摆线垂直(即切线)方向的分力提供F回＝－mgsin α＝－x(l为摆长，x是相对平衡位置的位移)
平衡位置
F回＝0，a＝0
弹簧处于原长
F回＝0，a切＝0，
小球摆动的最低点(此时F向心≠0，a＝a向心≠0)
能量转化关系
弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
固有周期
T＝2π，T与振幅无关
T＝2π，T与振幅、摆球质量无关
2.简谐运动的特征
(1)动力学特征
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征
①相隔或(n为
正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间，即tPO＝tOP′，
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(5)能量特征
振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
3.单摆及其周期公式
（1）单摆的受力特征
①回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
②向心力：细线的拉力和重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg+ 。
（4）周期公式T＝2π 的两点说明
①l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
②g为当地重力加速度。
4.分析简谐运动中各物理量的变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
(3)做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零。
【典型例题】如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是 ( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
【审题指导】
(1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。
(2)确定0.6 s时物块所在的位置。
(3)确定0.6 s时小球下落的高度与h的关系。
【答案】 AB
【解析】由物块做简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同。故选项C、D错误。
★重难点二、简谐运动的图象★
1．对简谐运动图象的认识
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
2．图象信息
(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。
(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。
(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
3.简谐运动图像问题的两种分析方法
方法一：图像—运动结合法
解此类题时，首先要理解xt图像的意义，其次要把xt图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
方法二：直观结论法
简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图像，不是物体的运动轨迹。从振动图像上可以获取以下信息：
(1)可直接读取振幅A、周期T(两个相邻正向最大位移之间的时间间隔或两个相邻负向最大位移之间的时间间隔)以及质点在任意时刻相对平衡位置的位移x。也可以知道开始计时时(t＝0)振动质点的位置。
(2)由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向，二者都指向时间轴。
(3)可以判断某段时间内振动质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置，则质点的速度、动能均变大，位移、回复力、加速度、势能均变小；反之，则相反。凡是图像上与时间轴距离相等的点，振动质点具有相同的动能和势能。
(4)可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正，该点的斜率为负值时速度方向为负。
【典型例题】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】 A
【解析】 从t＝0.8 s时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故t＝0.8 s时，速度方向向左，A正确；由题图乙得振子的位移x＝12sin (t) cm，故t＝0.2 s时，x＝6 cm，故B错误；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移方向相反，由a＝－知，加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D错误。
★重难点三、受迫振动和共振★
1．自由振动、受迫振动和共振的比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统，其机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
3．受迫振动和共振的两点总结
(1)无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。
(2)受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。
【典型例题】（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法正确的是( )
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【答案】AB
【解析】 由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 H ，固有周期为2 s；再由T＝2π 得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，A、B正确，C、D错误；此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅最大为8 cm，E错误。