- 258.00 KB
- 2021-05-21 发布
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直
【考点梳理】
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
【考点突破】
考点一、利用空间向量证明平行问题
【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
[解析] 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xy .
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).
设点C的坐标为(x0，y0，0).
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1).
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0.
又PQ⊄平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).
∵＝，设点F坐标为(x，y，0)，则
(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，
∴∴＝
又由法一知＝，
∴＝，∴PQ∥OF.
又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，
∴PQ∥平面BCD.
【类题通法】
1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.
2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
【对点训练】
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.
[解析] ∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，
∴AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axy ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).
法一 ∴＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y， )，
则即
令 ＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，
∵＝(2，0，－2)，
∴·n＝0，∴n⊥，
∵PB⊄面EFG，
∴PB∥平面EFG.
法二 ＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，
＝(1，1，－1).设＝s＋t，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
∴解得s＝t＝2.
∴＝2＋2，
又∵与不共线，
∴，与共面.
∵PB⊄平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
考点二、利用空间向量证明垂直问题
【例2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
[解析] (1)取BC的中点O，连接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，).
∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－).
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1，0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB.
∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
【类题通法】
1．利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
2．用向量证明垂直的方法
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
【对点训练】
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.
[解析] 法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.
令＝a，＝b，＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，
则＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，
m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，
·m＝(a－c)·
＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证.
法二 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y， )，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0).
因为n⊥，n⊥，
故⇒
令x＝1，则y＝2， ＝－，
故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量，
而＝(1，2，－)，所以＝n，所以∥n，
故AB1⊥平面A1BD.
考点三、利用空间向量解决探索性问题
【例3】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC
均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
[解析] (1)设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O⊂平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABCD，
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，
·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
∴⊥，即BD⊥AA1.
(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设＝λ，P(x，y， )，则(
x，y－1， )＝λ(0，1，).
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ).
设n3⊥平面DA1C1，则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
设n3＝(x3，y3， 3)，
取n3＝(1，0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，
则n3⊥，即n3·＝－－λ＝0，得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.
【类题通法】
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题
1．根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.
2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.
【对点训练】
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.
[解析] (1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，λ－2).
当λ＝1时，＝(－1，0，1)，
因为＝(－2，0，2)，
所以＝2，
即BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ，
且BC1⊄平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y， )，
则由可得于是可取n＝(λ，－λ，1).
同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1).
则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.
故存在λ＝1±，使平面EFPQ⊥平面PQMN.