2021年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用（学生版） 4页

第 1 页 / 共 4 页 专题 12 韦达定理及其应用 1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 如果方程 )0(02  acbxax 的两个实数根是 21 xx ， ，那么 a bxx  21 ， a cxx 21 。也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： (1)验根； (2)已知方程的一根，求另一根； (3)求某些代数式的值； (4)求作一个新方程。 【例题 1】(2020•泸州)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣4x﹣7＝0 的两个实数根，则 x12+4x1x2+x22 的值是 ． 【对点练习】(2019 湖北仙桃)若方程 x2﹣2x﹣4＝0 的两个实数根为α，β，则α2+β2 的值为( ) A．12 B．10 C．4 D．﹣4 【例题 2】(2020•江西)若关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx﹣2＝0 的一个根为 x＝1，则这个一元二次方程的另 一个根为 ． 【对点练习】 已知方程 的一个根是-1/2，求它的另一个根及 b 的值。 【对点练习】(2019 年湖北省荆门市)已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+1＝0 的两个不相等实数根， 且满足(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，则 k 的值为 ． 【例题 3】(2020•随州)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m﹣2＝0． (1)求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 第 2 页 / 共 4 页 (2)若方程有两个实数根 x1，x2，且 x1+x2+3x1x2＝1，求 m 的值． 【对点练习】(2019▪湖北黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)＝0 有实数根． (1)求 m 的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为 x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求 m 的值． 【例题 4】(2020 湖北黄石模拟)已知方程 的两根 ，求作以 为两根 的方程。 【对点练习】(2019 山东淄博模拟)若 x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以 x1，x2 为根的一元二次方程是( ) A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 一、选择题 1. (2019•江苏泰州)方程 2x2+6x﹣1＝0 的两根为 x1、x2 则 x1+x2 等于( ) A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 2. (2019•广东)已知 x1.x2 是一元二次方程了 x2﹣2x=0 的两个实数根，下列结论错误的是( ) 第 3 页 / 共 4 页 A．x1≠x2 B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2 3.(2019•广西贵港)若α，β是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 的两实根，且 + ＝﹣ ， 则 m 等于( ) A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 二、填空题 4．(2020•内江)已知关于 x 的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3＝0 有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数 根为 ． 5.(2019 年江西省)设 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的两根，则 x1+x2+x1x2＝ ． 6.(2019 年四川攀枝花)已知 x1，x2 是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的两根，则 x12+x22＝ ． 7.(2019 年四川成都)已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k﹣1＝0 的两个实数根，且 x12+x22﹣x1x2＝13， 则 k 的值为 ． 8.(2019 四川泸州)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣x﹣4＝0 的两实根，则(x1+4)(x2+4)的值是 ． 三、解答题 9．(2020•鄂州)已知关于 x 的方程 x2﹣4x+k+1＝0 有两实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)设方程两实数根分别为 x1、x2，且 x1x2﹣4，求实数 k 的值． 第 4 页 / 共 4 页 10．(2020•南充)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x+k+2＝0 的两个实数根． (1)求 k 的取值范围． (2)是否存在实数 k，使得等式 k﹣2 成立？如果存在，请求出 k 的值；如果不存在，请说明理由． 11. (2019 黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 kx2－3x+1＝0 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为 x1 和 x2,当 x1+x2+x1x2＝4 时,求 k 的值. 12.(2019 孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2． (1)若 a 为正整数，求 a 的值； (2)若 x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2＝16，求 a 的值． 13.已知：x1、x2 是两个不相等的实数，且满足 ，那么求 的值。